Räta linjens ekvation

När man tar in på ett hotell kostar varje natt en viss summa pengar, låt säga 500 kr:

$Total\, kostnad=500\, kr\cdot \, antal\, n\ddot{a}tter$

Om vi betecknar antal nätter med x och den totala kostnaden med y får vi:

$y=500x$

Om vi utöver nattavgiften även vill använda hotellets SPA-avdelning så kan vi anta att en extra avgift på 250 kr tillkommer:

$\\Total \, kostnad=500\, kr\cdot antal\, n\ddot{a}tter+250\, kr\\\\ y=500x+250$

Denna ekvation följer en mall som kallas för räta linjens ekvation. Det är en klassisk funktion, där vi stoppar in ett värde (x) och får ut ett annat (y). Funktionen kallas för räta linjens ekvation, därför att om man ritar in funktionen i en graf så kommer det att bli en rät linje. Vi ska visa detta genom att sätta in några värden i ett koordinatsystem och sedan sammanbinda dessa med en linje. Följande tabell visar vad den totala kostnaden blir i 3 olika fall (2 nätter, 3 nätter och 5 nätter):

$\\y(2)=500\cdot 2+250=1250\\ y(3)=500\cdot 3+250=1750\\ y(5)=500\cdot 5+250=2750$

När man skriver y(2) så menar man att man att man har en funktion där man

undersöker vad y blir om x=2. I generella fall brukar man skriva:

$\\y(x)=500x+250\\ eller\\ f(x)=500x+250$

Om man sedan vill sätta in olika värden på x så betecknar man funktionen just

genom att sätta in ett värde på samtliga x-platser.

Om man vill vara extra tydlig kan man även skriva:

$y(x=2)=500\cdot 2+250$

Antal nätter (x)	Total kostnad (y)	Koordinater (x,y)
2	1250	(2, 1250)
3	1750	(3, 1750)
5	2750	(5, 2750)

Koordinaterna sätts nu in i ett koordinatsystem, och vi ser att vi får en rät linje.
1093

Eftersom vi kan sätta in ett oändligt antal koordinater, så kommer vi få massor av punkter som alla ligger efter samma linje. Denna linje motsvaras av just ekvationen:

$y(x)=500x+250$

1095

Formeln för räta linjens ekvation lyder:

$y=kx+m$

Alla funktioner som följer detta mönster bildar en rät linje. Det som kommer skilja linjerna åt är lutningen och läget. Lutningen betecknas med ett k, som står för koefficient. I vår exempel-funktion så är k-värdet 500. Läget betecknas med ett m. m är det värde på y-axeln där linjen skär denna. m-värdet i vår exempel-funktion är 250.

I koordinatsystemet nedan har en ny funktion ritats in. Genom att studera linjen kan vi räkna ut linjens ekvation. Eftersom linjen är rak, så vet vi att ekvationen följer uppbyggnaden för "linjens ekvation".

$y=?x+?$

Vi saknar k- och m-värdet. Vi ska börja med att räkna ut linjens lutning, det vill säga k-värdet.

1098

K-värdet beräknas med hjälp av följande formel:

$k=\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

Genom att ta två koordinater och beräkna skillnaden i y-led mellan dessa och dividera med skillnaden i x-led mellan punkterna, så får vi k-värdet:

1100

Skillnaden i y-led:

$\\y_{2}-y_{1}=5-3=2\\$

Skillnaden i x-led:

$x_{2}-x_{1}=2-1=1$

K-värdet blir följaktligen:
$k=\frac{2}{1}=2$
Slutligen ska vi ta reda på m-värdet. Vi ska alltså bara läsa av var linjen skär y-axeln, vilket är i y=1.

$m=1$

Nu har vi alla ingående element i ekvationen. Linjen i koordinatsystemet har alltså ekvationen:

$y(x)=2x+1$

Nu ska vi rita in en extra funktioner i koordinatsystemet:

$y(x)=2x$

Räta Linjens ekvation

Den nya funktionen har inget m-värde utskrivet, utan det är noll. Precis som förväntat skär linjen till ekvationen genom origo, där y=0. Lägg märke till att de båda funktionerna är parallella. Eftersom båda funktionerna har samma k-värde, har de också samma lutning, vilket just medför parallellitet.

2 linjer med samma k-värde är parallella

I följande koordinatsystem har ytterligare en funktion ritats in:

$y(x)=x$

Denna simpla funktion har vare sig k-värde eller m-värde utskrivna, men de finns dolda. Koefficienten för x är 1 och m-värdet är noll.

y=x

I nästa exempel har en fjärde funktion ritats in:

$y(x)=2$

y=2

Denna funktion har inget k-värde, utan endast ett m-värde (m = 2). Som vi ser så skär linjen y-axeln i just y=2. Om k-värdet är noll, så betyder det att det inte finns någon lutning och linjen är därför parallell med x-axeln.

Slutligen så har en femte funktion ritats in:

$y(x)=-2x-3$

räta linjen1

Notera hur både k-värde och m-värde är negativa. Då k-värdet är negativt blir även lutningen negativ och följaktligen är linjen fallande. m-värdet skär y-axeln i y=-3 som sig bör.

En linje utan k-värde är parallell med x-axeln

En linje med k>0 är stigande

En linje med k<0 är fallande

En linje med ekvationen x = 2 kan inte skrivas enligt formeln för linjens ekvation. I ett koordinatsystem är linjen förvisso rät, men den saknar både lutning (k-värde) och skärning med y-axeln (m-värde):

$x=2$

räta linjen x=2

Eftersom x endast har ett värde så kan något y-värde inte definieras. Linjen blir parallell med y-axeln.

En linje som till exempel x=2 kan inte skrivas på formeln y=kx+m utan är parallell med y-axeln.