Exponentialfunktioner

När vi räknar med exponenter behöver vi kunna hantera några räkneregler. Exponenter har hanterats i tidigare kurser. Följande formler kommer direkt ifrån kurs A:

$\\bas^{exponent}=produkt\\\\ a^{b}\cdot a^{c}=a^{b+c}\\\\ (a^{b})^{c}=a^{b\cdot c}\\\\ \frac{a^{b}}{a^{c}}=a^{b-c}\\\\ a^{b}=\frac{1}{a^{-b}}\\\\ a^{0}=1$

Vi har hittills endast räknat med tal som har heltal i exponenten. Samma regler gäller för decimaltals-exponenter men det finns mer viktiga härledningar som ger fler regler.

Låt oss studera exemplet 4^0,5.

$4^{0,5}\cdot 4^{0,5}=4^{0,5+0,5}=4^{1}=4$

Om vi multiplicerar 4^0,5 med sig själv blir svaret 4. Eftersom vi vet att om vi multiplicerar 2 med sig själv, så blir svaret också 4. Alltså är dessa tal samma sak:

$\\4^{0,5}\cdot 4^{0,5}=2\cdot 2=4\\\\ 4^{0,5}=4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}$

Du kanske känner till att det mer exakta namnet på "roten ur" är "kvadratroten ur". Ibland väljer man, för att poängtera detta, att skriva ut en tvåa framför roten-ur-tecknet:

$\sqrt{4}=\sqrt[2]{4}$

Hur kan vi skriva om 32^0,2 ?

$32^{0,2}=32^{\frac{2}{10}}=32^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{32}=2$

Hur kan vi skriva om 3^1,1 ?

$3^{1,1}=3^{1+0,1}=3^{1}\cdot 3^{0,1}=3\cdot 3^{\frac{1}{10}}=3\cdot \sqrt[10]{3}$

För att slå ut ett slutgiltigt svar på denna multiplikation, måste vi använda miniräknare. Vi får själva välja vilken metod som är mest bekväm att använda.

$3\cdot 3^{\frac{1}{10}}=3\cdot \sqrt[10]{3}\approx 3\cdot 1,12=3,36$

$\\a^{0,5}=a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}\\\\ a^{\frac{1}{b}}=\sqrt[b]{a}$

Om vi har en ekvation som innehåller ett x som bas, kan vi använda oss av tidigare räkneregler för att lösa ut vad x är:

$\\x^{3}=27\\ x=27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}\\ x=3$

Exempel: Om man sätter in 20 000 kr i en fond, som fördubblar insättningen på 5 år - vilken är då räntesatsen?

Lösning:

Tankesättet följer mönstret:

$\\20000\cdot x=\aa r\, 1\\\\ \aa r\, 1\cdot x=\aa r\, 2\\ \aa r\, 2\cdot x=\aa r\,3\\ \aa r\, 3\cdot x=\aa r\,4\\ \aa r\, 4\cdot x=\aa r\, 5=40000$

Detta är samma sak som att skriva:

$\\20000\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x=20000\cdot x^{5}\\ 20000\cdot x^{5}=40000\\\\ x=\left ( \frac{40000}{20000} \right )^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{1}{5}}\\\\ x\approx 1,15$

Räntesatsen är 15 %