Härledning av f´(x)=e^x

Innan vi ska gå vidare och visa meningen och nyttan med detta "magiska" tal ska vi först härleda och visa att derivatan av f(x) = e^x faktiskt är f'(x) = e^x.

Vi börjar med derivatans h-definition, som vi gått igenom i tidigare kapitel:

$f{}'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$\\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{e^{(x+h)}-e^{x}}{h}=\frac{e^{x}\cdot e^{h}-e^{x}}{h}=\\\\\frac{e^{x}\cdot (e^{h}-1)}{h}=e^{x}\cdot \frac{e^{h}-1}{h}\\\\\\ f{}'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}e^{x}\cdot \frac{e^{h}-1}{h}$

Nu kan vi inte beräkna mer, utan vi får själva testa vad som händer om h går mot noll:

$h\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{e^{h}-1}{h}$


0,1	1,0517..
0,01	1,005...
0,000001	1,0000005..

Vi ser att uttrycket går mot 1, och kvar blir bara e^x!

$\\\lim_{h\rightarrow 0} \frac{e^{h}-1}{h}=1\\\\ f{}'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}e^{x}\cdot \frac{e^{h}-1}{h}=e^{x}\cdot 1=e^{x}$

Alltså:

$\\\, \, f(x)=e^{x}\\ f{}'(x)=e^{x}\\$

Vi ska titta på en till härledning innan vi går vidare. Vi ska derivera:

$\\f(x)=e^{6x}\\$

$\\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{e^{6(x+h)}-e^{6x}}{h}=\frac{e^{6x}\cdot e^{6h}-e^{6x}}{h}=\\\\ \frac{e^{6x}(e^{6h}-1)}{h}=e^{6x}\frac{(e^{6h}-1)}{h}\\\\\\ f{}'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}e^{6x}\cdot \frac{e^{6h}-1}{h}$

Om vi nu åter igen sätter in ett tal som är väldigt nära noll, till exempel 0,0000001 blir derivatan:

$\\e^{6x}\cdot \frac{e^{6\cdot 0,0000001}-1}{0,0000001}\approx e^{6x}\cdot 6,0000002\\\\ f{}'(x)=6\cdot e^{6x}$

Den allmänna formeln, där k är en konstant, lyder:

$\\f(x)=e^{kx}\\\\ f{}'(x)=k\cdot e^{kx}$