Nyttan med e

Vad har vi nu för nytta av e? Varför är det så intressant att talet 2,718x har en derivata som är densamma?

Kommer du ihåg att vi sa att ett tal kan skrivas om till 10-potensform. Vilket positivt tal som helst kan skrivas om som 10EnSiffra

Till exempel är:

3=10^{0,48}

Men faktum är att 3 även kan skrivas om som:

\\3=2^{1,58}\\ 3=4^{0,79}\\ 3=5^{0,68}\\ 3=6^{0,61}
osv...

Man kan skriva om 3 till VilketTalSomHelstEnSiffra

Alla exponentialfunktioner kan ritas som kurvor och på så sätt hjälpa oss med dessa omskrivningar:

Denna figur visar kurvorna för 5 olika exponentialfunktioner:
Exponentialfunktioner nyttan med e

Här kan vi se och bekräfta det vi skrev ovanför, att till exempel så är:

\\3=2^{1,58}\\

nyttan med e


Om vi kan skriva om 3 till VilketTalSomHelstEnSiffra så kan vi alltså även skriva om 3 som:

3=2,718^{1,1}=e^{1,1}

I följande figur är kurvan till f(x) = ex inritad:

funktionen e^x

Genom att ha denna graf till hands så kan vi läsa ut och lösa alla ekvationer som innehåller y=ex. Till exempel:

5=e^{x}


e^x


Alltså:

5=e^{x}\Rightarrow x=1,61

Även denna "uppritning och avläsning" kan miniräknare göra automatiskt åt oss. Funktionen betecknas "ln":

x=ln\, 5=1,61

Denna funktion fungerar alltså precis som tio-logaritmer, men kallas för naturlig logaritm.

 Nu ska vi utnyttja detta skrivsätt och skriva om 5:

Jämför med 10-potensen.

5=10^{log\, 5}=e^{ln\, 5}

Vad har vi nu för nytta av att skriva om 5 till en naturlig logaritm? Jo! Nu har vi möjlighet att enkelt derivera en exponentialfunktion!!

Exempel:

\\f(x)=5^{x}\\\\ 5^{x}=\left \{ 5=e^{ln\, 5} \right \}=(e^{ln\, 5})^{x}=e^{x\cdot ln\, 5}\\\\ f(x)=e^{x\cdot ln\, 5}


Denna funktion är nu väldigt enkel att derivera. Vi tillämpar följande regel:

f{}'(x)=k\cdot e^{kx}

och får:

f{}'(x)=ln\, 5\cdot e^{x\cdot ln\, 5}

Vi har alltså bara skrivit om uttrycket, eller 5an rättare sagt, och formulerat ett uttryck som vi vet hur man deriverar.

(Varje gång vi ser "konstiga" formler som innehåller ett "e" så är detta i själva verket ett redan omskrivet uttryck - vi kan se det som att någon redan gjort oss en tjänst och skrivit ut ett uttryck och förenklat åt oss. Någon har redan "ritat upp och läst av grafen" och fått ut ett värde baserat på talet e. Från början fanns det ett exponentiellt uttryck med x i exponenten.)


För att ha god användning av talet e och utnyttja detta vid derivering, är det viktigt att vi först och främst vet hur vi skriver om en exponentialfunktion. Formen som vi vill ha är y=ekx.

\\y=a^{x}\Rightarrow y{}'=ln\, a\cdot e^{x\cdot ln\, a}=ln\, a\cdot a^{x}\\\\ y=C\cdot a^{x}\Rightarrow y{}'=C\cdot ln\, a\cdot a^{x}



Exempel: Temperaturen (T) i en ugn ökar enligt följande funktion, där x är tiden i minuter. Beräkna temperaturökningen vid tiden 15 minuter.


T=120\cdot 1,3^{x}


Lösning:

 1,3=e^{ln\, 1,3}


\\T=120\cdot 1,3^{x}=120\cdot (e^{ln\, 1,3})^{x}=120\cdot e^{x\cdot ln\, 1,3}\\\\ T{}'=ln\, 1,3\cdot 120\cdot e^{x\cdot ln\, 1,3}\\\\ T{}'(15)=ln\, 1,3\cdot 120\cdot e^{15\cdot ln\, 1,3}=1611,5^{\circ}