Naturliga logaritmer

Hur deriverar vi denna funktion?

I följande figur har grafen till funktionen y(x) = 2^x ritats in. Även derivatans kurva, y'(x) har ritats in. Lägg märke till hur lika funktionskurvan och derivatakurvan är varandra. Derivatan ligger strax under.




I följande figur har vi ritat in funktionen till y = 2,5^x samt dess derivata. Även denna gång är kurvorna mycket lika varandra, derivatan är fortfarande under men ännu närmare funktionskurvan.



Slutligen redovisas funktionen y = 3^x. Här är derivatans kurva strax ovanför funktionens kurva.



Finns det någon funktion av detta slag, som har en derivatakurva, som går precis på funktionens kurva? Alltså - Finns det någon funktion, vars derivata är precis densamma? Vi har precis sett att derivatan till y=2,5^x ligger strax över funktionskurvan - och y=3^x ligger precis under funktionskurvan. Det låter inte helt orimligt att det finns ett tal, mellan 2,5 och 3 som upphöjt i x faktiskt har en derivata som är identisk.

Talet som uppfyller detta är:

2,718281828......

Talet, som liksom pi är oändligt långt, betecknas e. Om vi deriverar y = e^x får vi derivatan y' = e^x.