Härled derivatan av kx^p

Härled derivatan av f(x) = kxp där k och p är konstanter och p≠0

genom att skriva om f(x) på formen eu(x)

och använda kedjeregeln:

\frac{d}{dx}g(h(x))=g{}'(h(x))\cdot h{}'(x)

tillsammans med derivatan för ln x:

\frac{d}{dx}ln\, x=\frac{1}{x}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lösning

 

\\e^{u(x)}=kx^{p}\\\\ ln\, e^{u(x)}=ln\, kx^{p}\\\\ u(x)=ln\, k+p\cdot ln\, x

 

Vi kan nu beräkna derivatan av f(x):

 

\\f{}'(x)=\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dx}e^{u(x)}=\\\\ \left \{ Kedjeregeln \right \}=e^{u(x)}\cdot u{}'(x)=\\\\ e^{u(x)}\cdot \frac{d}{dx}(ln\, k+p\cdot ln\, x)=\\\\ e^{u(x)}\cdot (p\cdot \frac{1}{x})=e^{u(x)}\cdot \frac{p}{x}\\\\ f(x)\cdot \frac{p}{x}=kx^{p}\cdot \frac{p}{x}=pkx^{p-1}

 

Derivatan av kxp är pk∙xp-1.

 

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.