Härled derivatan av x^n

Visa att om f(x) = xn, där n är ett positivt heltal så är derivatan f'(x) = nxn-1 genom att använda derivatans definition:

f{}'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

 

Lösning:

f{}'(x)=\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}

Vi börjar med att utveckla termen (x+h)n:

\\(x+h)^{n}=(x+h)\cdot (x+h)\cdot ...\cdot (x+h),n\, \,faktorer\\\\ (x+h)^{n}=a_{0}\cdot x^{n}\cdot h^{0}+a_{1}\cdot x^{n-1}\cdot h^{1}+...+a_{n-1}\cdot x^{1}\cdot h^{n-1}+\\\\+a_{n}\cdot x^{0}\cdot h^{n}\\\\ (x+h)^{n}=a_{0}\cdot x^{n}+a_{1}\cdot x^{n-1}\cdot h+...+a_{n-1}\cdot x\cdot h^{n-1}+a_{n}\cdot h^{n}

Vi ska nu identifiera koefficienterna a0, a1, ... , an-1, an.

a0 måste vara lika med 1 eftersom det bara finns en term där vi multiplicerat variabeln x i varje faktor. Av symmetriskäl gäller detsamma för termen an som följaktligen också är lika med 1.

 

a1 = n eftersom det finns n olika sätt att välja ut x från (n-1) faktorer och h från 1 faktor. Av symmetriskäl gäller detsamma för termen an-1 som följaktligen också är lika med n.

 

Vi kan alltså skriva (x+h)n enligt följande:

\\(x+h)^{n}=1\cdot x^{n}+n\cdot x^{n-1}\cdot h+...+n\cdot x\cdot h^{n-1}+1\cdot h^{n}\\\\ (x+h)^{n}=x^{n}+n\cdot x^{n-1}\cdot h+...+n\cdot x\cdot h^{n-1}+h^{n}

Vi kan nu sätta in uttrycket ovan i formeln för derivatan:

f{}'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^{n}+n\cdot x^{n-1}\cdot h+...+n\cdot x\cdot h^{n-1}+h^{n}-x^{n}}{h}=\\\\\\=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h\cdot (n\cdot x^{n-1}+a_{2}\cdot x^{n-2}\cdot h+a_{3}\cdot x^{n-3}\cdot h^{2}+...)}{h}=\\\\\\=\lim_{h\rightarrow 0}n\cdot x^{n-1}+a_{2}\cdot x^{n-2}\cdot h+a_{3}\cdot x^{n-3}\cdot h^{2}+...=\\\\\\ n\cdot x^{n-1},\, V.S.V

 

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.