Ola förbereder sig inför nationella proven i matematik genom att
lösa gamla nationella prov. Han kör dock fast på en klurig uppgift.
Kan du hjälpa honom att lösa den?
En lärare hade rättat alla prov i en klass utom ett som kommit
på villovägar. Ett tag senare hittade hon provet bland en hög med
diverse papper. Efter att ha rättat det kunde hon konstatera att
medelpoängen ökade med 0,75 poäng och att resultatet på det provet
var 18 poäng bättre än medelpoängen (alla proven inräknade). Hur
stor var klassen?
Lösning:
Inför följande beteckningar
n = antalet elever i klassen
mn = medelvärdet för alla n eleverna
mn-1 = medelvärdet för alla eleverna förutom den vars
prov först var på villovägar
xn = provresultatet för den elev vars prov kom på
villovägar
Vi kan nu uttrycka informationen i uppgiftslydelsen
formelmässigt:
Det finns (minst) två sätt att lösa denna uppgift. En ganska
kort lösning som bygger på att man kommer på ett visst samband och
en lite längre. Jag börjar med den korta lösningen.
Korta lösningen:
Eftersom provresultatet xn gör att medelvärdet ökar
med 0,75 poäng inser man att följande samband måste gälla:
Motivering: om xn hade varit lika med mn-1
hade ju mn varit lika med mn-1, men om vi
lägger på 0,75 på varje tal (x1, x2, ... )
och vi har sammanlagt n tal, d.v.s. summan ökar med 0,75n, så
kommer medelvärdet öka med 0,75, vilket uttryckts formelmässigt
ovan.
Vi utgår från den andra ekvationen och sätter in mn
enligt den första ekvationen:
Vi sätter nu in uttrycket för mn-1 enligt den tredje
ekvationen:
Klassen består av 25 elever.
Långa lösningen:
Vi definierar följande summa:
Vi får då:
Med hjälp av det andra uttrycket kan vi skriva om det
ursprungliga sambandet:
Vi utvecklar nu den andra ursprungliga ekvationen:
Vi sätter nu in detta uttryck för Sn-1 i nedanstående
ekvation:
Produkten av två faktorer är lika med 0.
Första faktorn lika med 0 ger n = 0 (ej giltig lösning, ty n ≥
2).
Andra faktorn lika med 0 ger:
Klassen består av 25 elever.
Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.