Derivator

Som vi har nämnt under C-kursen så är derivatan av en funktion f(x) anger hur funktionens värde varierar när värdet på x förändras. Ritar man upp grafen f(x), så anger derivatan av f(x) tangentens lutning i punkten x.

Det finns ett flertal regler som säger hur vi ska derivera:

Funktion:	Derivata:

$\\x^{2}\\$	$\\2x\\$
$\\4x^{3}\\$	$\\12x^{2}\\$
$\\x^{2}+3x^{4}\\$	$\\2x+12x^{3}\\$
$\\2e^{2x}\\$	$\\4e^{2x}\\$
$\\sin\, x\\$	$\\cos\, x\\$
$\\cos\, x\\$	$\\-sin\, x\\$

Nedanför så har vi ritat upp grafen till funktionen:

$\\y=x^{3}-7x^{2}+8x+8\\$

tredjegradsfunktion

Precis som vi diskuterade i matte B så har denna kurvan en maximipunkt och en minimipunkt, i dessa punkter är derivatan = 0. Det innebär att kurvan inte har någon lutning i dessa punkter.

Vad har då kurvan för x-värden i maximi- och minimipunkten?

Vi vet att derivatan är noll i dessa punkter, vi deriverar alltså funktionen och sätter den lika med noll:

$\\y'=3x^{2}-14x+8=0\\$

Med hjälp av pq-formeln får vi att rötterna blir:

x = 4 resp x = 2/3.

Efter att ha studerat grafen så ser vi snabbt att maximipunkten ligger till vänster och måste därför ha x-kordinaten 2/3, på samma sätt ser vi att minimipunkten ligger till höger och alltså har x-värdet 4.

Ett sätt att avgöra om det är en maximipunkt eller minimipunkt utan att rita upp den är att titta på andraderivatan. Är andraderivatan negativ så har vi en maximipunkt, är den positiv så har vi en minimipunkt.