Area- sinus- cosinussatsen

Areasatsen använder man för att räkna ut arean i en triangel där man inte känner till höjden. För följande triangel:

areasatsen

Så får man arean som:

$\\A=\frac{a\cdot b\cdot sin\, \gamma }{2}\\\\\\A=\frac{a\cdot c\cdot sin\, \beta }{2}\\\\\\A=\frac{b\cdot c\cdot sin\, \alpha }{2}\\$

Exempel:

Räkna ut arean för en triangel där ena sidan är 3 cm, en annan sida är 4 cm och mellan liggande vinkel är 50 grader.

$\\A=\frac{3\cdot 4\cdot sin\, 50}{2}=4,6\, cm^{2}\\$

För en triangel med sidorna a, b och c så säger sinussatsen att:

sinussatsen

$\\\frac{sin\, \alpha }{a}=\frac{sin\, \beta }{b}=\frac{sin\, \gamma }{c}\\$

Exempel:

En triangel har en vinkel som är 50 grader med motstående sida som är 5 cm. En annan sida i samma triangel är 4 cm. Hur stor är vinkeln motstående till sidan som är 4 cm?

$\\\frac{sin\, 50}{0,05}=\frac{sin\, \beta }{0,04}\\\\\\\beta =sin^{-1}\, ( \frac{0,04\cdot sin\, 50}{0,05} )=37,8^{\circ}\\$

Cosinussatsen är ytterligare en sats som används till att beräkna okända vinklar och längder i trianglar:

cosinussatsen

$\\a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos\, \alpha \\$

Exempel:

I en triangel är sidorna 4 och 5 cm kända. Deras mellanliggande vinkel är 50 grader. Beräkna sidan som är motstående 50 graders vinkeln.

$\\a^{2}=0,04^{2}+0,05^{2}-2\cdot 0,04\cdot 0,05\cdot cos\, 50 \\$

$\\a=\sqrt{0,04^{2}+0,05^{2}-2\cdot 0,04\cdot 0,05\cdot cos\, 50} \\\\a=0,039\\$