Derivatan av y=tan^(-1)x

Beräkna derivatan y'(x) då

\\y(x) = tan^{-1}\,x\\

Scrolla ned för att se lösningen:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\\y=tan^{-1}\,x\Rightarrow tan\,y=x\\

Derivera med avseende på x:

\\\frac{d}{dx}tan\,y=\frac{d}{dx}x\\\\\frac{d}{dx}tan\,y=1\\

Genom att sätta u = tan y kan vi beräkna derivatan med hjälp av kedjeregeln:

\\\frac{d}{dx}u(y(x))=1\\\\u'(y(x))\cdot y'(x)=1\\

 

\\u'(y)=\frac{d}{dy}u=\frac{d}{dy}tan\,y=\frac{d}{dy}\frac{sin\,y}{cos\,y}\\\\\left \{ kvotregeln \right \}\\\\\frac{cos\,y\cdot cos\,y-(-sin\,y)\cdot sin\,y}{(cos\,y)^{2}}=\\\\\frac{(cos\,y)^{2}+(sin\,y)^{2}}{(cos\,y)^{2}}=\\\\1+\frac{(sin\,y)^{2}}{(cos\,y)^{2}}=\\\\1+\left ( \frac{sin\,y}{cos\,y} \right )^{2}\\\\1+(tan\,y)^{2}\\\\1+tan^{2}\,y\\

Vi sätter nu in detta samband i det tidigare uttrycket:

\\(1+tan^{2}\,y)\cdot y'(x)=1\\\\y'(x)=\frac{1}{1+tan^{2}\,x}\\\\\left \{ tan\,y=x \right \}\\\\y'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}\\

 

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.