Härled kvotregeln

Härled kvotregeln:

$\\y(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\Rightarrow \\\\\\y'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}\\$

utifrån derivatans definition:

$\\f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\$

Scrolla ned för att se lösningen:

Bilda först följande differenser:

$\\ \triangle _{h}f(x)=f(x+h)-f(x)\\\\\triangle _{h}g(x)=g(x+h))-g(x)\\$

Vi får då följande uttryck för derivatan:

$\\f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\triangle _{h}f(x)}{h}\\\\g'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\triangle _{h}g(x)}{h}\\$

$\\y'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}=\\\\\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)}{hg(x+h)}-\frac{f(x)}{hg(x)}\\$

Vi kan skriva om ovanstående uttryck med hjälp av de ovan definierade differenserna.

$\\y'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x)+\triangle_{h}f(x)}{h(g(x)+\triangle_{h}g(x))}-\frac{f(x)}{hg(x)}\\$

Skriv om uttrycket med gemensam nämnare:

$\\y'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x)g(x)+\triangle_{h}f(x)g(x)-f(x)g(x)+f(x)\triangle_{h}g(x)}{h((g(x))^{2}+g(x)\triangle_{h}g(x))}=\\$

$\\\lim_{h\rightarrow0}\left ( \frac{\triangle_{h}f(x)}{h}g(x)-f(x)\frac{\triangle_{h}g(x)}{h} \right )\cdot \frac{1}{(g(x))^{2}+g(x)\triangle_{h}g(x)}\\$

Eftersom:

$\\\lim_{h\rightarrow0}\triangle_{h}g(x)=\lim_{h\rightarrow0}(g+h)-g(x)=g(x+0)g(x)=0\\$

så får vi att den andra faktorn går mot:

$\\\frac{1}{(g(x))^{2}}\\$

Detta ger slutligen:

$\\y'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\left ( \frac{\triangle_{h}f(x)}{h}g(x)-f(x)\frac{\triangle_{h}g(x)}{h} \right )\cdot \frac{1}{(g(x))^{2}}=\\\\=\left ( f'(x)g(x)-f(x)g'(x) \right )\cdot \frac{1}{(g(x))^{2}}=\\\\\\=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}\\$

V.S.V.

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.