En likbent (två sidor är lika långa) triangel har omkretsen O.
Hur stor ska vinkeln (uttryckt i grader) mellan de två lika långa
sidorna vara för att triangelns area ska bli så stor som
möjligt?
Scrolla ned för att se lösningen:
Vi kallar sidorna som är lika långa för x och den tredje sidan
för y. Den sökta toppvinkeln kallar jag för v.
Summan av sidorna är lika med omkretsen, vilket ger följande
samband:
Vi kan uttrycka y i O och x:
Arean A = basen ∙ höjden / 2
Vi kallar höjden för h. Vi kan nu räkna ut h med hjälp av
Pythagoras sats genom att bilda en rätvinklig triangel med sidorna
x, h och y/2:
Det ger arean:
Vi söker nu det x som maximerar A genom att sätta derivatan av A
med avseende på x lika med 0 och använder oss av kedjeregeln och
inre derivatan:
Vi har nu produkten av två faktorer som är lika med 0. Den
första kan aldrig bli lika med noll, vilket innebär att den andra
faktorn måste vara lika med 0:
Vi kan nu räkna ut y och h:
Eftersom alla sidor i triangeln är lika långa (O/3) så är den
liksidig och alla vinklar är lika stora, d.v.s. 60° (180°/3).
Vi kan också räkna ut vinkeln v genom att använda oss av cosinus
för halva vinkeln:
vilket alltså stämmer med resonemanget ovan då vi insåg att
vinkeln v är 60°.
Vinkeln ska vara 60°.
Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.