Utspark med fotboll

Med vilken hastighet (km/h) ska en fotboll sparkas ut (liggande boll) för att nå 10 meter längre än mittlinjen? Hur högt når bollen som högst? Bollen ligger i ursprungsläget på linjen 5,5 meter in från kortlinjen. Planens längd är 105 meter. Bollen sparkas ut i en vinkel på 35° från marken.

Ekvationerna för läget i x-led (längd) respektive y-led (höjd) är då följande (vi bortser från luftmotståndet):

$\\x(t)=x_{0}+v_{x}t\\$

$\\y(t)=y_{0}+v_{y}-\frac{gt^{2}}{2}\\$

där (x₀, y₀) är bollens startpunkt, v_x är hastigheten i längdled och v_y är hastigheten i höjdled och g = 9,82 m/s² är tyngdaccelerationen.

Scrolla ned för att se lösningen:

fotboll

Bollens startpunkt (x₀, y₀) = (5,5;0).

Vi kallar motstående katetar för v_y och närliggande för v_x, hypotenusan kallar vi för v.

Vi får följande samband mellan hastigheten v och hastigheten i x-led respektive y-led, där θ = 35°.

$\\cos\, \theta =\frac{v_{x}}{v}\Rightarrow v_{x}=v\cdot cos\, \theta \\\\\\sin\, \theta =\frac{v_{y}}{v}\Rightarrow v_{y}=v\cdot sin\, \theta \\$

Vi kallar tidpunkten då fotbollen når marken för t₁ och koordinaten för (x₁, y₁).

$\\x_{1}=\frac{105}{2}+10=52,5+10=62,5\\$

$\\x_{1}=x(t_{1})=x_{0}+v_{x}t_{1}=5,5+v\cdot cos\, 35\cdot t_{1}=62,5\\$

För y-koordinaten får vi följande samband:

y₁₌₀

$\\y_{1}=y(t_{1})=y_{0}+v_{y}t_{1}-\frac{gt^2_1}{2}=0+v\cdot sin\, 35\cdot t_{1}-\frac{9,82t^{2}_{1}}{2}=0\\$

Lös ut v∙t₁ ur ekvationen för x₁:

$\\v\cdot cos\, 35\cdot t_{1}=62,5-5,5\\$

$\\v\cdot t_{1}=\frac{57}{cos\, 35}\\$

Vi sätter nu in det uttrycket i ekvationen för y₁:

$\\\frac{57\cdot sin\, 35}{cos\, 35}-4,91^{2}_{1}=0\\$

$\\t^{2}_{1}=\frac{57\cdot sin\, 35}{4,91\cdot cos\, 35}\\$

$\\t_{1}=\sqrt{\frac{57\cdot sin\, 35}{4,91\cdot cos\, 35}}=2,851084\\$

Vi kan nu räkna ut v:

$\\v=\frac{57}{t_{1}\cdot cos\, 35}=\frac{57}{2,851084\cdot cos\, 35}=24,4062\\$

24,4062 m/s = 24,4062•10^-3 km/(h/3600)=24,4062 • 3,6 km/h = 87,8623 km/h

Vi ska nu räkna ut bollens högsta punkt.

Vi vet att när y(t) har ett maximum så är derivatan med avseende på t lika med 0.

$\\y(t)'=\frac{d}{dt}\left ( v\cdot sin\, 35\cdot t-\frac{9,82t^{2}}{2} \right )=v\cdot sin\, 35-9,82t=0\\$

$\\t=\frac{v\cdot sin\, 35}{9,82}=\frac{24,2062\cdot sin\, 35}{9,82}=1,425542\\$

Vi kan nu räkna ut på vilken höjd bollen befinner sig på vid den tidpunkten:

$\\y(1,425542)=v\cdot sin\, 35\cdot t-\frac{9,82t^{2}}{2}=\\\\=24,4062\cdot sin\, 35 \cdot t-\frac{9,82\cdot (1,425542)^{2}}{2}=\\\\=9,97795\approx 10m\\$

Bollen sparkas iväg med hastigheten 88 km/h och når maximalt höjden 10 m.

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.