Differentialekvationer

När vi löser en ekvation i stil med 2x + 4 = 0 så ska vi hitta ett värde på x som uppfyller ekvationen. På samma sätt så löser man en differentialekvation men istället för ett värde på x så ska man hitta en funktion y som uppfyller differentialekvationen.

Exempel:

Bestäm den fullständiga lösningen till följande differentialekvation som uppfyller villkoret y(1) = -2:

$\\y'=x^{2}+1\\$

Vi börjar med att bestämma den primitiva funktionen:

$\\y=\frac{x^{3}}{3}+x+C\\$

Vi sätter in x = 1 och y = -2 för att kunna bestämma C:

$\\-2=\frac{1^{3}}{3}+1+C\\\\\\C=\frac{-10}{3}\\$

Den typen av differentialekvation som vi löste precis kallas för differentialekvation av första ordningen. Hade vi haft med en andra derivata så hade det kallats för en differentialekvation av andra ordningen.

Hade vi inte bestämt värdet på C så hade vi haft en allmän lösning. Med ett exakt värde på C så får vi fram vår partikulärlösning.

Funktionen:

$\\y'+ay=0\\$