Eulers metod

En numerisk metod som används till att bestämma y-värden till en differentialekvations lösningskurva kallas för Eulers metod.

För att den ska kunna gälla så måste differentialekvationen vara av första ordningen. Vi måste också veta koordinaterna för en punkt på lösningskurvan.

Vi illustrerar metoden med ett exempel:

Differentialekvationen

$\\y'=2x+y\\$

har en lösning sådan att y(0) = 1. Använd steglängden h = 0,5 och bestäm y(1).

Vi känner alltså till punkten (0,1) och kan då beräkna

$\\y'(0)=2\cdot 0+1=1\\$

Tangentens lutning, k, är alltså 1.

Nu ska vi beräkna den nya punktens koordinater. X-koordinaten blir x = 0 + 0,5 = 0,5 eftersom vi förflyttar oss 0,5 steg i x-led. Ekvationen för tangentens lutning kan skrivas om som:

$\\k=\frac{y_{1}-y_{0}}{h}\Rightarrow y_{1}=y_{0}+h\cdot k\\$

Vi stoppar alltså in det gamla y-värdet, h och k och får det nya y-värdet:

$\\y_{1}=1+0,5\cdot 1=1,5\\$

Den nya punkten blir alltså (0,5; 1,5).

Nu ska vi beräkna kurvans lutning i denna punkt:

$\\y'(0,5)=2\cdot 0,5+1,5=2,5\\$

Den nya punktens x-koordinat blir x = 0,5 + 0,5 = 1.

y-värdet beräknar vi med ekvationen:

$\\y_{2}=y_{1}+h \cdot k\\$

Vi stoppar in vårt gamla y-värde, vårt h och vårt nya k-värde och får:

$\\y=1,5+0,5\cdot 2,5=2,75\\\\y(1)=2,75\\$