Karakteristiska ekvationer

Ekvationen

$\\r^{2}+ax+b=0\\$

kallas en karakteristisk ekvation till differentialekvationen

$\\y''+ay'+by=0\\$

En sådan andragradsekvation kan antingen ha lösningen: två olika reella rötter, dubbelrot eller två komplexa rötter.

Då den karakteristiska ekvationens rötter är två olika reella rötter så blir differentialekvationens allmänna lösning

$\\y=Ae^{r_{1}x}+Be^{r_{2}x}\\$

Om det istället skulle vara en dubbelrot så blir istället den allmänna lösningen

$\\y=(A+Bx)e^{rx}\\$

Om rötterna är två komplexa rötter så blir den allmänna lösningen

$\\y=e^{ax}(A\,cos\,bx+B\,sin\,bx)\\$

då

$\\r=a\pm bi\\$