Polär form

Om man ritar upp sitt komplexa tal

$\\z=a+bi\\$

i en graf så får man en figur som ser ut så här:

komplex enhetscirkel

Vektorn för det komplexa talet har längden

$\\r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\\$

Vinkeln mellan den reella-axeln och vektorn kallas för argumentet för z och betecknas med

$\\\phi =arg\,z\\$

Om vi har vinkeln och längden på vektorn så kan vi skriva om z som:

$\\z=r(cos\,\phi+i\cdot sin\,\phi)\\$

Exempel:

Skriv om följande ekvation på polär form

$\\z=4+4i\\$

Vi börjar med att rita upp ekvationen:

komplext tal

Figuren visar att:

$\\tan\,\phi=\frac{4}{4}\\\\\phi=45^{\circ}\\$

Längden på vektorn är

$\\r=\sqrt{4^{2}+4^{2}}\approx 5,66\\$

Då kan vi skriva ekvationen på polär form

$\\z=5,66(cos\,45+i\cdot sin\,45)\\$