Arean för en cirkel

Härled formeln för arean för en cirkel med radien r genom att beräkna arean mellan kurvorna:

$\\u(x)=\sqrt{r^{2}-x^{2}}\\v(x)=-\sqrt{r^{2}-x^{2}}\\$

då x går från -r till r.

Formeln för partiell integration kan vara till hjälp:

$\\\int\;f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int\;F(x)g'(x)dx\\$

där F(x) är en primitiv funktion till f(x.).

Scrolla ned för att se lösningen:

Vi kallar den sökta arean för A.

$\\A=\int^{r}_{-r}u(x)-v(x)dx=\int^{r}_{-r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}-(-\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx=\\\\2\int^{r}_{-r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx=\\\\2r\int^{r}_{-r}\sqrt{1-\left (\frac{x}{r} \right )^{2}}dx=\\\\t=\frac{x}{r}\Rightarrow \\\\x=tr\Rightarrow \\\\\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}x=\frac{d}{dt}(tr)=r\Rightarrow \\\\dx=rdt\\x=-r\Leftrightarrow t=-1\\x=r\Leftrightarrow t=1\\\\A=2r\int^{1}_{-1}\sqrt{1-t^{2}}rdt=\\\\2r^{2}\int^{1}_{-1}\sqrt{1-t^{2}}dt\\\\2r^{2}\cdot I\\$

Vi bestämmer nu I allmänt utan att ta hänsyn till integralgränserna för att få en kompaktare notation:

$\\I=\int \sqrt{1-t^{2}}dt=\\\\\int\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot (1-t^{2})dt=\\\\\left \{ partiell\;integration \right \}\\\\sin^{-1}\,(t)\cdot (1-t^{2})-\int sin^{-1}\,(t)\cdot (-2t)dt=\\\\sin^{-1}\,(t)\cdot (1-t^{2})+\int 2t\cdot sin^{-1}\,(t)dt=\\\\sin^{-1}\,(t)\cdot (1-t^{2})+J\\\\J=\int2t\cdot sin^7-1\,(t)dt\\\\\left \{ partiell\;integration \right \}\\\\t^{2}\cdot sin^7-1\,(t)-\int\frac{t^{2}}{\sqrt{1-t^{2}}}dt=\\\\t^{2}\cdot sin^{-1}\,(t)\cdot K\\\\K=\int\frac{t^{2}}{\sqrt{1-t^{2}}}dt=\int\frac{-t}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot (-t)dt=\\\\\left \{ partiell\;integration \right \}\\\\\sqrt{1-t^{2}}\cdot (-t)-\int\sqrt{1-t^{2}}\cdot (-t)dt=\\\\-t\sqrt{1-t^{2}}+I\\$

Vi kan nu lösa ut I:

$\\K=\-t\sqrt{1-t^{2}}+I\Rightarrow \\J=t^{2}\cdot sin^{-1}\,(t)-K=\\t^{2}\cdot sin^{-1}\,(t)-(-t\sqrt{1-t^{2}}+I)=\\t^{2}\cdot sin^{-1}\,(t)+t\sqrt{1-t^{2}}-1\Rightarrow \\I=sin^{-1}\,(t)\cdot (1-t^{2})+J=\\sin^{-1}\,(t)-t^{2}\cdot sin^{-1}\,(t)+t^{2}\cdot sin^{-1}\,(t)+t\sqrt{1-t^{2}}-I=\\sin^{-1}\,(t)+t\sqrt{1-t^{2}}-I\Rightarrow \\2I=sin^{-1}\,(t)+t\sqrt{1-t^{2}}\Rightarrow \\\\I=\frac{1}{2}\cdot (sin^{-1}\,(t)+t\sqrt{1-t^{2}})\\$

Slutligen kan vi beräkna A:

$\\A=2r^{2}\cdot I=r^{2}\cdot \left [ sin^7-1 \,(t)+t\sqrt{1-t^{2}}\right ]^{1}_{-1}=\\\\r^{2}\cdot (sin^{-1}\,(1)+0-sin^{-1}\,(-1)-0)=\\\\r^{2}\cdot \left ( \frac{\pi}{2}-\left ( -\frac{\pi}{2} \right ) \right )=r^{2}\cdot \pi =\\\\\pi r^{2}\\$

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.