Arean för ett klot

Ett klot med radie r har volymen:

$\\V(r)=\frac{4\pi r^{3}}{3}\\$

Om klotets radie ökar från r till r + Δr där Δr är mycket litet gäller att:

$\\\triangle V(r)\approx A(r)\cdot\triangle r\\$

där A(r) är klotets area och ΔV(r) är förändringen i klotets volym.

När Δr går mot noll så gäller likhet, d.v.s.:

$\\A(r)=\lim_{\triangle r\rightarrow 0}\frac{\triangle V(r)}{\triangle r}\\$

Härled ett uttryck för arean A(r) utifrån ovanstående samband.

Scrolla ned för att se lösningen:

$\\\triangle V(r)=V(r+\triangle r)-V(r)\Rightarrow \\\\A(r)=\lim_{\triangle r\rightarrow 0}\frac{V(r+\triangle r)-V(r)}{\triangle r}\\$

Vi ser nu att vi har ett uttryck som precis överensstämmer med derivatans definition, vilket ger:

$\\A(r)=V'(r)=\frac{d}{dr}\,V(r)=\frac{d}{dr}\,\left ( \frac{4\pi r^{3}}{3} \right )=\frac{3\cdot 4\pi r^{2}}{3}=4\pi r^{2}\\$

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.