Derivatan av sin v och cos v

Härled derivatan av sin v och cos v utifrån Eulers formel:

$\\e^{iv}=cos\,v+i\,sin\,v\\$

Scrolla ned för att se lösningen:

Sätt y = sin v och z = cos v. Vi kan då skriva Eulers formel och derivera:

$\\\frac{d}{dv}(z+iy)=\frac{d}{dv}e^{iv}\\\\z'+iy'=ie^{iv}\\z'+iy'=i\cdot (z+iy)\\z'+iy'=-y+iz\\$

Vi kan nu identifiera de eftersökta derivatorna genom att imaginär- respektive realdelarna i VL och HL måste vara lika:

$\\Im(z'+iy')=Im(-y+iz)\\y'=z\\\\\frac{d}{dv}\,sin\,v=cos\,v\\\\Re(z'+iy')=Re(-y+iz)\\z'=-y\\\\\frac{d}{dv}\,cos\,v=-sin\,v\\$

Derivatan av sin v är cos v och derivatan av cos v är -sin v.

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.