Hitta rötterna

Ekvationen

\\z^{4}-2z^{3}+14z^{2}-8z+40=0\\

har rötterna:

\\z_{1}=2i\\z_{2}=-2i\\

Bestäm de återstående två rötterna till ekvationen.

Scrolla ned för att se lösningen:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eftersom vi vet att z1 och z2 är rötter till ekvationen kan vi skriva om den på formen:

\\(z-z_{1})(z-z_{2})(z^{2}+Az+B)=0\\(z-2i)(z-(-2i))(z^{2}+Az+B)=0\\\left \{ konjugatregeln \right \}\\(z^{2}-4i^{2})(z^{2}+Az+B)=0\\(z^{2}+4)(z^{2}+Az+B)=0\\\left \{ multiplicera\;in \right \}\\z^{4}+Az^{3}+Bz^{2}+4z^{2}+4Az+4B=0\\\left \{ identifiera\;koefficienter \right \}\\A=-2\\B+4=14\Rightarrow B=10\\(z^{2}+4)(z^{2}-2z+10)=0\\

Vi har nu en produkt av två faktorer som är lika med 0. De återstående två rötterna erhålls genom att sätta den andra faktorn lika med 0:

\\z^{2}-2z+10=0\\\left \{ pq-formeln \right \}\\z=1\pm \sqrt{1^{2}-10}\\z=1\pm \sqrt{-9}\\z=1\pm \sqrt{9i^{2}}\\z=1\pm 3i\\z_{3}=1+3i\\z_{4}=1-3i\\

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.