Karakteristiska ekvationer med dubbelrot

Vi har följande differentialekvation:

$\\y''+cy'+dy=0\\$

Motsvarande karakteristiska ekvation blir då:

$\\r^{2}+cr+d=0\\$

Visa att om den karakteristiska ekvationen har en dubbelror r₁ = r₂ = s så gäller att

$\\y=e^{sx}(Ax+B)\\$

är en allmän lösning till differentialekvationen, där A och B är godtyckliga konstanter.

Scrolla ned för att se lösningen:

Vi börjar med att bestämma konstanterna c och d. Eftersom r₁ = r₂ = s är en dubbelrot till den karakteristiska ekvationen så kan den skrivas på formen:

$\\(r-s)(r-s)=0\\r^{2}-2sr+s^{2}=0\\r^{2}+cr+d=0\Rightarrow \\c=-2s\\d=s^{2}\\$

Vi räknar nu ut första- och andraderivatan av den föreslagna lösningen.

$\\y'=\frac{d}{dx}(e^{sx}(Ax+B))=\\\\\left \{ produktregeln \right \}\\se^{sx}(Ax+B)+e^{sx}A=\\e^{sx}(Asx+Bs+A)\\\\y''=\frac{d}{dx}y'=\frac{d}{dx}(e^{sx}(Asx+Bs+A))=\\\\\left \{ produktregeln \right \}\\se^{sx}(Asx+Bs+A)+e^{sx}As=\\e^{sx}(As^{2}+Bs^{2}+2As)\\$

Vi sätter nu in dessa uttryck i differentialekvationen.

$\\y''-2sy'+s^{2}y=\\e^{sx}(As^{2}x+Bs+2As)-\\2s\cdot e^{sx}(Asx+Bs+A)+\\s^{2}\cdot e^{sx}(Ax+B)=\\e^{sx}x(As^{2}-2As^{2}+s^{2}A)+\\e^{sx}(Bs^{2}+2As)-2Bs^{2}-2As+Bs^{2}=\\e^{sx}x\cdot 0+e^{sx}\cdot 0=0\\$

V.S.V. (vilket skulle visas).

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.