Karakteristiska ekvationer med komplexa rötter

Vi har följande differentialekvation:

$\\y''+cy'+dy=0\\$

Motsvarande karakteristiska ekvation blir då:

$\\r^{2}+cr+d=0\\$

Visa att om den karakteristiska ekvationen har komplexa rötter:

$\\r_{1}=a+bi\\r_{2}=a-bi\\$

så gäller att

$\\y=e^{ax}(A\,cos\,(bx)+B\,sin\,(bx))\\$

är en allmän lösning till differentialekvationen, där A och B är godtyckliga konstanter.

Scrolla ned för att se lösningen:

Vi börjar med att bestämma konstanterna c och d. Eftersom r₁ och r₂ är lösningar till den karakteristiska ekvationen kan den skrivas på formen:

$\\(r-r_{1})(r-r_{2})=0\\(r-(a+bi))(r-(a-bi))=0\\((r-a)-bi)((r-a)+bi)=0\\\left \{ konjugatregeln \right \}\\(r-a)^{2}-(bi)^{2}=0\\\left \{ kvadreringsregeln \right \}\\r^{2}-2ar+a^{2}-b^{2}i^{2}=0\\r^{2}-2ar+a^{2}+b^{2}=0\\r^{2}+cr+d=0\Rightarrow \\c=-2a\\d=a^{2}+b^{2}\\$

Vi räknar nu ut första- och andraderivatan av den föreslagna lösningen.

$\\y'=\frac{d}{dx}(e^{ax}(A\,cos\,(bx)+B\,sin\,(bx)))=\\\\\left \{ produktregeln \right \}\\ae^{ax}(A\,cos\,(bx)+B\,sin\,(bx))+\\e^{ax}(-Ab\,sin\,(bx)+Bb\,cos\,(bx))=\\e^{ax}((Aa+Bb)\,cos\,(bx)+(Ba-Ab)\,sin\,(bx))\\\\\\y''=\frac{d}{dx}\,y'=\\\\\frac{d}{dx}(e^{ax}((Aa+Bb)\,cos\,(bx)+(Ba-Ab)\,sin\,(bx)))=\\\\\left \{ produktregeln \right \}\\ae^{ax}((Aa+Bb)\,cos\,(bx)+(Ba-Ab)\,sin\,(bx))+\\e^{ax}(-b(Aa+Bb)\,sin\,(bx)+b(Ba-Ab)\,cos\,(bx))=\\e^{ax}\,cos\,(bx)(Aa^{2}+Bba+bBa-bAb)+\\e^{ax}\,sin\,(bx)(Ba^{2}-aAb-bAa-Bb^{2})=\\e^{ax}\,cos\,(bx)(Aa^{2}+2Bba-bAb)+\\e^{ax}\,sin\,(bx)(Ba^{2}-2aAb-Bb^{2})\\$

Vi sätter nu in dessa uttryck i differentialekvationen.

$\\y''-2ay'+(a^{2}+b^{2})y=\\e^{ax}\,cos\,(bx)(Aa^{2}+2Bba-bAb-2Aa^{2}-\\2aBb+Aa^{2}+Ab^{2})+\\e^{ax}\,sin\,{bx}(Ba^{2}-2aAb-Bb^{2}-2Ba^{2}+\\2aAb+Ba^{2}+Bb^{2})=\\e^{ax}\,cos\,(bx)\cdot 0+e^{ax}\,sin\,(bx)\cdot 0=0\\$

V.S.V. (vilket skulle visas).

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.