Karakteristiska ekvationer med två olika reella rötter

Vi har följande differentialekvation:

$\\y''+cy'+dy=0\\$

Motsvarande karakteristiska ekvation blir då:

$\\r^{2}+cr+d=0\\$

Visa att om den karakteristiska ekvationen har två olika reella rötter: r₁ och r₂ så gäller att

$\\y=Ce^{r_{1}x}+De^{r_{2}x}\\$

är en allmän lösning till differentialekvationen, där C och D är godtyckliga konstanter.

Scrolla ned för att se lösningen:

Vi börjar med att bestämma konstanterna c och d. Eftersom r₁ och r₂ är lösningar till den karakteristiska ekvationen kan den skrivas på formen:

$\\(r-r_{1})(r-r_{2})=0\\r^{2}-r_{1}r-r_{2}r+r_{1}r_{2}=0\\r^{2}-(r_{1}+r_{2})r+r_{1}r_{2}=0\\r^{2}+cr+d=0\Rightarrow \\c=-(r_{1}+r_{2})\\d=r_{1}r_{2}\\$

Vi räknar nu ut första- och andraderivatan av den föreslagna lösningen.

$\\y'=\frac{d}{dx}(Ce^{r_{1}x}+De^{r_{2}x})=Cr_{1}e^{r_{1}x}+Dr_{2}e^{r_{2}x}\\\\y''=\frac{d}{dx}\,y'=\frac{d}{dx}\,(Cr_{1}e^{r_{1}x}+Dr_{2}e^{r_{2}x})=\\\\=Cr^{2}_{1}e^{r_{1}x}+Dr^{2}_{2}e^{r_{2}x}\\$

Vi sätter nu in dessa uttryck i differentialekvationen.

$\\y''-(r_{1}+r_{2})y'+r_{1}r_{2}y=\\e^{r_{1}x}\cdot C\cdot (r^{2}_{1}-r^{2}_{1}-r_{2}r_{1}+r_{1}r_{2})+\\e^{r_{2}x}\cdot D\cdot (r_{2}^{2}-r_{1}r_{2}-r^{2}_{2}+r_{1}r_{2})=\\=e^{r_{1}x}\cdot C\cdot 0+e^{r_{2}x}\cdot D\cdot 0=0\\$

V.S.V. (vilket skulle visas).

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.