komplex ekvation med e^(3z)

Bestäm alla komplexa tal z sådana att:

$\\e^{3z}=g+2\sqrt{3}\cdot i\\$

Scrolla ned för att se lösningen:

Sätt

$\\w=6+2\sqrt{3}\cdot i\\$

och skriv om w på polär form:

$\\w=re^{iv}\\$

Vi bestämmer nu r och v:

$\\r=\sqrt{6^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{36+12}=\sqty{48}=4\sqrt{3}\\\\tan\,v=\frac{2\sqrt{3}}{6}\\\\tan\,v=\frac{\sqrt{3}}{3}\\\\tan\,v=\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\v=tan^{-1}\,v\,\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\\left \{ enligt\;tabell \right \}\\\\v=\frac{\pi}{6}\\$

Det innebär att vi kan skriva w på följande form:

$\\w=re^{i(v+2\pi n)}\\w=4\sqrt{3}\cdot e^{i(\frac{\pi}{6}+2\pi n)}\\$

Termen 2πn läggs till på vinkeln v för att vi ska få med samtliga varv i enhetscirkeln (n är ett godtyckligt heltal).

Vi har nu följande samband:

$\\e^{3z}=4\sqrt{3}\cdot e^{i(\frac{\pi}{6}+2\pi n)}\\$

Vi kan nu nästan identifiera 3z i HL, men först måste vi skriva om beloppet med bas e.

$\\e^{u}=4\sqrt{3}\\\left \{ logaritmera\;VL\;och\;HL \right \}\\ln\,e^{u}=ln(4\sqrt{3})\\u=ln(2^{2}\cdot 3^{\frac{1}{2}})\\u=2\,ln\,2+\frac{1}{2}ln\,3\\\\u=2\,ln\,2+\frac{ln\,3}{2}\\$

Detta innebär att vi får följande samband:

$\\e^{3z}=e^{2\,ln\,2+\frac{ln\,3}{2}+i(\frac{\pi}{6}+2\pi n)}\\\left \{ logaritmera\;VL\;och\;HL \right \}\\3z=2\,ln\,2+\frac{ln\,3}{2}+i(\frac{\pi}{6}+2\pi n)\\\\z=\frac{2\,ln\,2}{3}+\frac{ln\,3}{6}+i(\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi}{3}n),\;n\;heltal\\$

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.