Omkretsen för en cirkel

Beräkna omkretsen O(r) (r = cirkelns radie) för en cirkel genom att beräkna två gånger längden av halvcirkelbågen utifrån kurvan:

$\\y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}\\$

Mellan punkterna (-r, 0) och (r, 0).

En kurvas längd (båglängd) från x = x₁ till x = x₂ kan beräknas med formeln:

$\\L=\int^{x_{2}}_{x_{1}}\sqrt{1+(y'(x))^{2}}dx\\$

Scrolla ned för att se lösningen:

$\\y'(x)=\frac{d}{dx}\,y=\frac{d}{dx}\,\sqrt{r^{2}-x^{2}}\\\left \{ kedjeregeln \right \}\\\\\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{-\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\cdot \frac{d}{dx}\,(r^{2}-x^{2})=\\\\\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{-\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\cdot (-2x)=\\\\\frac{-x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\Rightarrow \\\\(y'(x))^{2}=\left ( \frac{-x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}} \right )^{2}=\frac{x^{2}}{r^{2}-x^{2}}\\$

Detta ger följande uttryck för O(r):

$\\O(r)=2\cdot \int^{r}_{-r}\sqrt{1+\frac{x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}\,dx=\\\\\\2\cdot \int^{r}_{-r}\sqrt{\frac{r^{2}-x^{2}+x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}\,dx=\\\\\\2\cdot \int^{r}_{-r}\sqrt{\frac{1}{1-\left (\frac{x}{r} \right )^{2}}}\,dx\\$

Gör substitutionen:

$\\t=\frac{x}{r}\Rightarrow\\\\x=tr\Rightarrow\\\\\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}x=\frac{d}{dt}\,(tr)=r\Rightarrow \\\\dx=rdt\\x=-r\Leftrightarrow t=-1\\x=r\Leftrightarrow t=1\\\\O(r)=2\cdot \int^{1}_{-1}\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}r\,dt=\\\\\\2r\cdot \int^{1}_{-1}\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\,dt=\\\\\left \{ \frac{d}{dt}\,\left ( sin^{-1}\,t \right )=\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} \right \}\\\\2r\cdot \left [ sin^{-1}\,t \right ]^{1}_{-1}=\\\\2r\cdot \left ( sin^{-1}\,(1)-sin^{-1}\,(-1) \right )=\\\\2r\cdot \left ( \frac{\pi}{2}-\left ( -\frac{\pi}{2} \right ) \right )=\\\\2r\cdot \pi =2\pi r\\$

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.