Volymen för en kon

Härled ett uttryck för volymen för en kon med höjd h och radie r genom att låta det område som begränsas av punkterna (x,y) = (0, 0), (0, h) och (r, 0) rotera runt y-axeln.

Scrolla ned för att se lösningen:

Vi bestämmer ekvationen för den räta linje, y = kx + m, som går genom punkterna:

$\\(x_{1},\,y_{1})=(0,\,h)\\(x_{2},\,y_{2})=(r,\,0)\\k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{0-h}{r-0}=-\frac{h}{r}\\$

Vi kan nu bestämma linjens ekvation med hjälp av enpunktsformeln:

$\\\\y-y_{1}=k(x-x_{1})\\y-h=k(x-0)\\\\y=-\frac{h}{r}x+h\\\\y=h-\frac{h}{r}x\\$

Volymen kan nu bestämmas med hjälp av skivmetoden:

$\\V=\inte^{h}_{0}\pi x^{2}\,dy=\pi \int^{h}_{0}\,x^{2}\,dy=\\\left \{ x0r-\frac{r}{h}y \right \}\\\pi \int^{h}_{0}\,(1-\frac{r}{h}y)^{2}\,dy=\\\pi r^{2}\int^{h}_{0}\,(1-\frac{y}{h})^{2}\,dy=\\\\\pi r^{2}\left [ \frac{(1-\frac{y}{h})^{3}}{3-(-\frac{1}{h})} \right ]\\\\\\-\frac{h\pi r^{2}}{3}\cdot \left ( \left ( 1-\frac{h}{h} \right )^{3}-\left ( 1-0 \right )^{3} \right )=\\\\-\frac{h\pi r^{2}}{3}\cdot (0-1)=\\\\\frac{\pi r^{2}h}{3}\\$

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.