Volymen för ett klot

Härled ett uttryck för volymen V(r) för ett klot med radien r genom att rotera arean mellan kurvan:

\\y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}\\

och linjen mellan punkterna (x, y) = (-r, 0) och (r, 0) runt x-axeln.

Scrolla ned för att se lösningen:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Uttrycket för V(r) kan bestämmas med hjälp av skivmetoden:

\\V(r)=\int^{r}_{-r}\pi y^{2}\,dx\\\\\pi \int^{r}_{-r}r^{2}-x^{2}\,dx\\\\\pi\left [ r^{2}x-\frac{x^{3}}{3} \right ]^{r}_{-r}=\\\\\pi \left ( r^{3}-\frac{r^{3}}{3}\left ( -r^{3}+\frac{r^{3}}{3} \right ) \right )=\\\\\pi \left ( \frac{2r^{3}}{3}-\left ( -\frac{2r^{3}}{3} \right ) \right )=\\\\\pi \frac{4r^{3}}{3}=\\\\\frac{4\pi r^{3}}{3}\\

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.