Ihåliga rotationskroppar

Om vi inte har en solid kropp utan en ihålig kropp och vi vill beräkna arean för den så använder man följande formel:

\\V=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^{2}-(p(x))^{2}dx\\

Detta innebär att vi i integralen tar vår yttre funktion i kvadrat minus den inre i kvadrat.

Exempel:

Beräkna volymen av den kropp som bildas när y=6 och y=5 roterar kring x-axeln för x=0 och x=18. Vi börjar med att rita upp våra funktioner:

integral kurva

Och försöker sedan tänka oss hur figuren kommer att se ut:

integral rör

Den gröna cylindern motsvarar y=5 och den blåa y=6. Vi ska alltså beräkna volymen för den kropp som är mellan cylindrarna. Nu ställer vi upp uttrycket för vår integral:

\\V=\pi\int_{0}^{18}(6)^{2}-(5)^{2}dx=\pi\int_{0}^{18}36-25dx=\pi\int_{0}^{18}11dx\\

Vi har alltså nu förenklat vår integral och tar fram primitiva funktionen och beräknar volymen:

\\\pi\left [ 11x \right ]=\pi(11\cdot 18-0)=198\pi\\