Rotation kring y-axel

Vi har nu lärt oss hur man gör vid rotation kring x-axeln, men hur gör man när kurvan roterar kring y-axeln? Jo då beräknas volymen med följande formel:

\\V=\pi\int_{a}^{b}x^{2}dy\\

Vi visar med ett exempel:

Här nedan har vi kurvan x i kvadrat plus 1, om vi tänker oss att den roterar kring y-axeln så får vi följande figur:

rotationskropp

Om vi tittar på formeln för volym vid rotation kring y-axeln så ser vi att vi ska stoppa in ett uttryck för x kvadrat i ekvationen. Vi löser därför ut x kvadrat ur vår ekvation:

\\x^{2}=y-1\\

Nu stoppar vi in uttrycket för x kvadrat i volymformeln, vi använder gränserna y=1 och y=6 och får:

\\V=\pi\int_{1}^{6}y-1\,dy=\pi\left [ \frac{y^{2}}{2}-y \right ]=\\\\=\pi\left ( \frac{6^{2}}{2}-6-\left ( \frac{1^{2}}{2}-1 \right )\right )=\pi12,5\\

Svaret ges i ve, bilket symboliserar volymenheter.