Ekvationslösning

Ekvationer

En ekvation är ett uttryck där man kan lösa ut de okända variablerna och få reda på deras numeriska värden (siffervärdena). När vi vill lösa en ekvation som

$\\5+x=8\\$

så vill vi ta reda på vilket värde för x likheten stämmer.

En ekvation har två sidor som kallas led med ett likhetstecken emellan dem som visar att båda sidorna är lika stora. Den vänstra sidan kallas för vänster led eller VL och den högra sidan kallas för höger led eller HL.

Om vi utför samma operation, det vill säga gör samma sak på båda sidorna, så kommer båda sidorna fortfarande vara lika stora. Om jag har en våg och har 4 äpplen på båda sidorna så är sidorna lika stora eftersom det är lika många äpplen på båda sidorna.

Våg 01

Lägger vidå på ett äpple på båda sidorna så kommer de att fortsätta vara lika stora bara det att det ligger fem äpplen i vardera korg. Äppelhögarna har blivit större, men de är fortfarande lika stora och det är det som är det viktiga.

Våg 02

Vi kan använda detta för att lösa vår ekvation. Målet när du löser en ekvation är att få x:et (eller vilken variabel man nu har) själv på ena sidan om likhetstecknet för att få ett numeriskt uttryck som vi kan lösa och på så sätt få ett värde på x.

I vår ekvation

$\\5+x=8\\$

Så har vi ju en femma på samma sida som x:et vilket gör att vi inte på direkten kan säga vad x är. Vi vill alltså på något sätt "bli av" med femman i vänster led. För att någonting ska kunna "försvinna" i en ekvation så måste man utföra den motsatta operationen. Motsatsen till +5 är -5 så om vi tar minus fem på båda sidorna av ekvationen så får vi:

$\\5+x-5=8-5\\\\x=3\\$

Genom att utföra den motsatta operationen så blev vi av med femman i vänster led eftersom 5 - 5 = 0 och vi har bara x kvar i vänster led och kan då se att x = 3. Eftersom vi tog bort lika mycket på båda sidorna så är vågskålarna fortfarande i balans och sidorna är fortfarande lika stora.

Enstegsekvationer

Nedan visar vi hur man löser några vanliga enstegsekvationer.

Ekvation I

Vi lägger till 2 till båda led eftersom den motsatta operationen till subtraktion är addition.

$\\x-2=5\\ x-2+2=5+2\\ x=7\\$

Ekvation II

Vi subtraherar 3 från båda led eftersom den motsatta operationen till addition är subtraktion.

$\\x+3=9\\ x+3-3=9-3\\ x=6\\$

Ekvation III

Vi multiplicerar båda led med 6 eftersom den motsatta operationen till division är multiplikation.

$\\\frac{x}{6}=3\\\\ \frac{x}{6}\cdot 6=3\cdot 6\\\\ x=18\\$

Ekvation IV

Vi dividerar båda led med 5 eftersom den motsatta operationen till multiplikation är division.

$\\5x=35\\ \\\frac{5x}{5}=\frac{35}{5}\\\\ x=7\\$

Prövning

För att kontrollera om en lösning man kommit fram till stämmer, kan man pröva den. Det innebär att istället för x så stoppar man in det värdet man fick fram när man löste ekvationen och ser om likheten håller. Om sidorna fortfarande är lika stora så vet man att man har fått fram rätt svar.

Vi prövar vår lösning från ekvation I här ovanför för att se om den håller. Vi fick fram att lösningen till ekvationen

$\\x-2=5\\$

var

$\\x=7\\$

Om vi ersätter x med 7 får vi

$\\VL=7-2=5\\$

och

$\\HL=5\\$

vilket ger att

$\\VL=HL\\$

Vilket innebär att lösningen var korrekt.

Ekvationer med variabler i båda led

Om en ekvation innehåller variabeltermer i båda led, löser man den genom att samla alla variabler på ena sidan om likhetstecknet och sedan fortsätta precis som tidigare. När man löser en ekvation så jobbar man hela tiden mot att man har alla x (eller annan variabel) själva på ena sidan.

Exempel:

$\\6x=700-29x\\$

Det vi gör då är att vi adderar 29x till båda led för att få alla x på vänster sida

$\\6x+29x=700-29x+29x\\ 35x=700\\$

För att få x själv så dividerar vi sen båda led med 35

$\\\frac{35x}{35}=\frac{700}{35}\\\\ x=20\\$

Ekvationer med variabeltermer i nämnaren

Om vi har en ekvation där variabeln står i nämnaren av ett bråk så gör vi precis som innan, vi jobbar mot att få x själv på ena sidan.

Exempel:

$\\\frac{8}{x}=16\\$

Vi börjar med att multiplicera båda sidor med x för att få bort x:et från nämnaren

$\\x\cdot \frac{8}{x}=x\cdot 16\\\\ 8=15x\\$

Genom att dividera båda sidor med 16 så får vi fram värdet på x

$\\\frac{8}{16}=\frac{16x}{16}\\\\\frac{1}{2}=x\\$

Andragradsekvationer

En andragradsfunktion är en ekvation som innehåller en x-term, eller en annan variabelterm, som är upphöjd till 2.

Som med alla de andra ekvationerna vi har löst så vill vi få x ensamt.

Motsatsen till kvadraten av ett tal, det vill säga operationen där man multiplicerar talet med säg själv, kallas för kvadratroten (eller i vanligt tal roten) och är helt enkelt definierad som det tal, som multiplicerat med sig självt, blir talet man tar kvadratroten på. En kvadratrot markeras med ett rottecken som ser ut så här √. Kvadratroten ur 25 är detsamma som 5 eftersom fem gånger fem är 25.

$\\\sqrt{25}=5\\$

eftersom

$\\5\cdot5=25\\$

På liknande sätt är

$\\\sqrt{36}=6\;\;\;\;\;\;\;\sqrt{49}=7\;\;\;\;\;\;\;\sqrt{64}=8\\$

Säg att vi har ekvationen

$\\x^2+5=86\\$

Vi börjar med att få x² ensamt på ena sidan genom att subtrahera båda led med 5

$\\x^{2}+5-5=86-5\ x^{2}=81\\$

Härifrån tar vi roten ur på båda sidor vilket ger att vi får

$\\\sqrt{x^{2}}=\sqrt{81}\\x=9\\$

Som vi kommer ihåg från negativa tal så är också

$\\(-9)\cdot (-9)=81\\$

Det innebär att när man tar roten ur ett tal, som här när vi tog roten ur 81 så får man två lösningar, en positiv och en negativ. Det innebär att lösningen till

$\\\sqrt{x^{2}}=\sqrt{81}\\$

är

$\\x=\pm 9\\$