Räta linjens ekvation

Om en funktion har en graf som är en rät linje kallas den för en linjär funktion.

Riktningskoefficienten

Om vi har funktionen

Från tidigare avsnitt som beskriver hur många sidor i en bok som Allan läst om han läser 10 sidor per dag och ritar upp den i ett koordinatsystem så ser vi att grafen är en rät linje vilket innebär att y(x) = 10x är ett exempel på en linjär funktion.

Vi vet sedan innan att x och y är variabler, men vad betyder då tian vi har i funktionen? Vi kan se att om x-värdet ökas med ett så ökas y-värdet med 10 och tvärtom.

x	y
0	0
1	10 (0 + 10)
2	20 (10 + 10)
3	30 (20 + 10

Om vi istället skulle ha funktionen

Så skulle y-värdet öka med 15 för varje ökning med 1 av x-värdet. Ökning blir alltså större.

x	y
0	0
1	15 (0 + 15)
2	30 (15 + 15)
3	45 (30 + 15)

Och för funktionen

blir ökningen istället mindre.

x	y
0	0
1	5 (0 + 5)
2	10 (5 + 5)
3	15 (10 + 5)

 

Om vi ritar upp graferna till de här tre funktioner i samma koordinatsystem så ser det ut så här:

Vi kan se att graferna har olika stor lutning, det vill säga att de ökar olika snabbt, och att lutningen beror på vilket tal som x har multiplicerats med. Man brukar beteckna funktionens lutning med k och den allmänna formeln för en funktion dom de tre vi har ritat in i koordinatsystemet ovan ser ut så här:

Linjära funktioner på den här formen kallas för proportionaliteter. k är en koefficient, och eftersom den bestämmer lutningen, eller riktningen, kallas den för riktningskoefficienten.

m-värdet

I fallen här ovan så har vi antagit att Allan börjar läsa i boken första dagen, men tänk om Allan redan hade läst 7 sidor i boken innan han började med sitt projekt att läsa 10 sidor per dag. Då hade funktionen sett ut som följande

För att kompensera för att när vi är på dag 0 av projektet och ännu inte börjat läsa 10 sidor/dag så har Allan redan läst 7 sidor i boken. Om vi ritar in den här funktionen i ett koordinatsystem så ser det ut så här:

Vi ser att grafen skär y-axeln vid 7 istället för i origo som för vår grundfunktion. Linjen har helt enkelt förskjutits sju steg uppåt och annars ser den exakt likadan ut.

Allmänt kallas det värde som blir där grafen skär y-axeln för m-värde.

Räta linjens ekvation

Funktionen y(x) = 10x + 7 är ett exempel på en linjär funktion som är skriven på den allmänna formeln

Där x och y är variabler, k riktningskoefficienten och m, är var grafen skär y-axeln.

Det är viktigt att komma ihåg att alla proportionaliteter

också är funktioner av typen

bara att deras m-värde alltid är 0.

Negativa m- och k-värden

Vad händer om m eller k är negativa? Vi prövar och ser vad som händer om m-värdet är negativt

Vi tar funktionen

och ritar in den i ett koordinatsystem och får då följande

Vi ser att grafen skär y-axeln vid -5. Grafen är alltså förskjuten 5 steg neråt vilket kan jämföras med att när vi hade ett positivt m-värde här ovanför så förskjöts grafen uppåt.

 

KOM IHÅG!

Ett positivt m-värde è grafen förskjuts uppåt på y-axeln Ett negativt m-värde è grafen förskjuts neråt på y-axeln m = 0 è grafen går genom origo

 

Vad händer om vi har ett negativt k-värde då? Om vi har funktionen

Och ritar in den i ett koordinatsystem så får vi följande

Vi ser att funktionen med det negativa k-värdet lutar åt andra hållet jämför med den funktionen som har ett positivt k-värde. Om x exempelvis ökar med ett, minskar y med 10.

 

KOM IHÅG!

Ett positivt k-värde ger en graf som är en uppförsbacke åt höger Ett negativt k-värde ger en graf som är en nedförsbacke åt höger