Cirklar

En cirkel är en perfekt rund kurva där alla punkter finns på ett lika stort avstånd (r) till medelpunkten (O).

cirkel

Radie

Sträckan mellan cirkelns medelpunkt och cirkelns rand kallas för radien, r, och är lika lång överallt på sträckan.

Korda

En sträcka mellan två punkter på en cirkel kallas för en korda. På bilden ser vi kordan AB.

korda

Diameter

En diameter är en korda som går genom medelpunkten. En diameter är alltid dubbelt så stor som radien. Man brukar beteckna diametern med d.

diameter

Cirkelområde och cirkelskiva

Det område som innesluts av cirkeln kallas för cirkelskiva eller cirkelområde. Cirkelområdet är markerat i turkos på bilderna i detta avsnitt. Man brukar kalla själva cirkelkurvan för cirkelns periferi eller rand (markerad med tjock svart linje i detta avsnitt).

Omkretsen av en cirkel

Om vi med hjälp av måttband mäter omkretsen av en cirkel och dividerar detta med cirkelns diameter får vi alltid samma tal oberoende av vilken cirkel vi mäter på. Det talet kallas för pi och betecknas π och är ungefär lika med 3,1415926... (fortsätter i all oändlighet), men avrundas oftast till 3,14. Pi är ett irrationellt tal, vilket betyder att det har oändligt många decimaler (det finns människor som tävlar i att kunna så många decimaler på pi som möjligt).

Från definitionen av π

$\\\frac{omkrets}{diameter}=\pi\\$

kan vi lösa ut omkretsen och får formeln för omkretsen på en cirkel till

$\\omkrets=diameter\cdot \pi\\$

Eftersom diametern är detsamma som dubbla radien kan formeln för en cirkels omkrets också skrivas som

$\\omkrets=2\cdot radie\cdot \pi\\$

Exempel:

Vad är omkretsen på en cirkel med radien 1 cm?

omkrets cirkel

Vi stoppar in vårt värde för radien i formeln för omkretsen på en cirkel och får då

$\\omkretsen=2\cdot 1\cdot \pi=2\cdot 3,14= 6,28\, cm\\$

Arean av en cirkel

Om vi har en cirkel med radien r och stoppar in den i en kvadrat så får vi en bild som ser ut så här:

area cirkel

Vi kan använda den här bilden till att ta reda på arean av en cirkel. Kvadraten som vi har ritat runt cirkeln har sidor som är 2r lång vilket ger att att kvadratens area är

$\\A_{kvadrat}=2\cdot s=2r\cdot 2r =4\cdot r\cdot r\\$

Man kan inuti cirkeln rita en romb som består av fyra rätvinkliga trianglar med bas och höjd med längden r.

cirkel romb

Arean för romben är lika stor som den sammansatta arean av de fyra trianglarna.

$\\A_{romb}=4\cdot \frac{r\cdot r}{2}=2\cdot r\cdot r\\$

Arean av cirkeln är någonstans mittemellan arean för kvadraten och arean för romben det vill säga ungefär

$\\3\cdot r\cdot r\\$

Eller mer exakt

$\\A_{cirkel}=\pi\cdot r\cdot r=\pi r^{2}\\$

Exempel:

Räkna ut arean av en cirkel med en radie som är 1 cm lång.

omkrets cirkel

$\\A_{cirkel}=\pi r^{2}=3,14\cdot1^{2}=3,14\cdot1=3,14\, cm^{2}\\$

Cirkelsegment

Ett cirkelsegment är en del av en cirkel. En korda delar en cirkel i två cirkelsegment. En diameter delar en cirkel i två halvcirklar.

cirkelsegment

Cirkelsektor

Om vi ser cirkelsektorn som en tårta så kallas varje tårtbit som vi skär ut för cirkelsektor.

cirkelsektor

Ett varv i en cirkel är 360°. Cirkelsektorn har en medelpunktsvinkel v som talar om hur stor del av cirkelarean som cirkelsektorn utgör.

$\\A_{cirkelsektor}=\frac{v}{360}\cdot \pi r^2\\$

Cirkelbåge

En cirkelbåge är en del av en cirkels rand.

cirkelbåge

Precis som för en cirkelsektor så beror längden på cirkelbågen på medelpunktsvinkelns storlek. Längden L av en cirkelbåge fås av

$\\L=\frac{v}{360}\cdot 2\cdot r\cdot \pi\\$

Nästa avsnitt: Plangeometri, Symmetri