Kongruens och likformighet

Kongruens

Kongruens innebär att två geometriska objekt är exakt lika förutom rotation och spegling. Det betyder att om man flyttar på den ena figuren och eventuellt snurrar lite på den eller vänder den så täcker det den andra figuren helt och hållet.

För trianglar finns det fyra kongruensfall. Om ett av dessa fall gäller så innebär det att trianglarna är kongruenta (dvs lika).

Två trianglar är kongruenta om

1. två sidor och en mellanliggande vinkel är lika.
2. tre sidor är lika.
3. två vinklar och en mellanliggande sida är lika.
4. två sidor en motstående vinkel av den större sidan, är lika.

Likformighet

Likformighet mellan två objekt betyder att de har precis samma form, men olika storlek. Om två trianglar är likformiga, har de alltså samma form och samma vinklar, men har olika storlek.

Att figurer är likformiga betecknas med ett tilde, ~.

Två trianglar anses likformiga:

1. Om två sidor i triangel a är proportionella mot två sidor i triangel b och att de mellanliggande vinklarna är lika.
2. Om sidorna i triangel a är proportionella mot sidorna i triangel b.
3. Om två vinklar i triangel a är lika stora som motsvarande vinklar i en triangel b

Att vi i fall 3. endast behöver veta två vinklar beror på att om vi vet två vinklar, så kan vi med hjälp av vinkelsumman i en triangel räkna ut den tredje. Och om två trianglar har alla vinklar lika, så har de samma form.

Att två sidor är proportionella innebär att förhållandet mellan dem är lika. Om vi har de här två trianglarna nedanför och vill veta om deras sidor är proportionella så innebär det att kvoten mellan sidan i den lilla triangeln och motsvarande sida i den stora triangeln är lika för alla sidor.

Eftersom förhållandet är detsamma för båda de sidor som vi har fått måtten på och eftersom den mellanliggande vinkeln är lika stor (markerad med ett streck) så är trianglarna likformiga enligt fall 1.

Exempel

Två likformiga trianglar ∆ABC och ∆DFE.

Vi vill räkna ut hur lång sträckan x i den lilla triangeln genom att använda oss av likformighet. Trianglarna är likformiga vilket innebär att förhållandet mellan sidorna CB och EF är detsamma som förhållandet mellan sidorna AC och DF. Men andra ord kan vi ställa upp följande formel

Nu har vi en ekvation som vi kan lösa för x. Vi börjar med att räkna ut vad bråket är i vänster led

Och sedan kan vi multiplicera båda sidor med 24 för att få x själv i högerled

Det här innebär att sidan BC är 12 längdenheter lång.

Om man vet att två trianglar är likformiga så kan man använda det här sambandet för att räkna ut längden på den okända sidan.

Topptriangelsatsen

Om vi har en triangel ∆ABC, som på bilden, och låter dra en parallelltransversal, en linje DE genom triangeln som är parallell med AB, så får vi en ny triangel ∆ADE. ∆ADE kallas då topptriangel och är likformig med ∆ABC, eller symboliskt ∆ADE~∆ABC.