Pythagoras sats

En rätvinklig triangel är en triangel som har en rät vinkel (90°). Den långa sidan som är mitt emot den räta vinkeln kallas för hypotenusa och de två andra sidorna kallas för kateter.

rätvinklig triangel

Pythagoras sats är en sats som säger något om sambandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel, nämligen att kvadraten på hypotenusan är lika med kvadraten på kateterna tillsammans. Symboliskt är detta

$\\a^2+b^2=c^2\\$

och grafiskt att arean av de gröna kvadraterna tillsammans är lika stor som arean av den blå kvadraten.

pythagoras sats

Med hjälp av Pythagoras sats kan vi ta reda på längden av en sida i en rätvinklig triangel om vi känner till de andra sidornas längd. För att göra det behöver vi kunna lösa enkla andragradsekvationer.

Exempel 1:

En rätvinklig triangel har katetrar som är 3 och 4 längdenheter långa. Hur lång är hypotenusan?

rätvinklig triangel

$\\a^{2}+b^{2}=c^{2}\\\\3^{2}+4^{2}=c^{2}\\\\9+16=c^{2}\\\\25=c^{2}\\$

För att lösa ut c härifrån så tar vi kvadratroten ur på båda sidorna

$\\\sqrt{25}=\sqrt{c^{2}}\\\\5=c\\$

Vi får alltså sidorna i triangeln till

rätvinklig triangel

Exempel 2:

Om vi har en triangel som den här nedanför där vi vet längden på hypotenusan och ena katetern kan vi använda Pythagoras sats för att ta reda på längden av den andra katetern.

rätvinklig triangel