Trianglar

En triangel är en geometrisk figur som har tre sidor. Sidorna möts i triangelns tre hörn och varje hörn har en vinkel.

triangel

En triangels hörn betecknas med stora bokstäver (versaler). En triangel ABC, innebär helt enkelt en triangel med hörnen A, B och C och betecknas ∆ ABC. Sidan som är mittemot ett hörn, kallas motstående sida, och betecknas med lilla bokstaven (gemenen) av hörnets namn, det vill säga sidan som är motstående till vinkel A kallas a. En ∆ ABC har alltså sidorna a, b och c.

triangel

Vinkelsumma

Vinkelsumman av en figur är summan av alla dess innervinklar. Vinkelsumman i en triangel är alltid 180°.

Om vi känner till två vinklar i en triangel, kan vi räkna ut den tredje eftersom de tillsammans är 180°. Det gör man genom att subtrahera de kända vinklarna från 180°.

Exempel:

Om två av vinklarna i en triangel är 60° och 70° vad är då storleken på den tredje vinkeln (kallad v i bilden nedanför).

vinkelsumma

Vi vet att:

$\\60^{\circ}+70^{\circ}+v=180^{\circ}\\$

Vinkeln v är då detsamma som

$\\60^{\circ}+70^{\circ}+v-60^{\circ}-70^{\circ}=180^{\circ}-60^{\circ}-70^{\circ}\\v=180^{\circ}-60^{\circ}-70^{\circ}\\v=50^{\circ}\\$

Yttervinkelsatsen

En följdsats till den förra satsen, är att en yttervinkel till en vinkel i en triangel, är summan av de två andra vinklarna i triangeln. Bilden får illustrera detta bättre.

Om vi har en triangel på en linje så bildas en yttervinkel till en av vinklarna inne i triangeln som vi ser på bilden.

yttervinkelsatsen

Summan av vinkeln c och yttervinkeln v är 180° eftersom de är sidovinklar. Vi vet också att vinkelsumman i en triangel är 180° vilket ger att yttervinkeln = a + b.

$\\v+c=180^{\circ}\\a+b+c=180^{\circ}\\\\v+c=a+b+c\\v+{\color{Red} \not}{c}=a+b+{\color{Red} \not}{c}\\\\v=a+b\\$

Det här kallas för yttervinkelsatsen.

Olika typer av trianglar

Beroende på vinklarna i en triangel, kan man dela upp dem i olika grupper.

Namn	Beskrivning	Bild
Rätvinklig	Om triangeln har en rät vinkel (90°).
Spetsvinklig	Om alla triangelns vinklar är spetsiga, det vill säga mindre än 90°.
Trubbvinklig	Om någon av triangelns vinklar är trubbig, det vill såga mer än 90°.

Man kan också dela in trianglarna efter hur deras sidor ser ut

Namn	Beskrivning	Bild
Oliksidig	Om alla sidor i en triangel har olika längd.
Likbent	Om två av triangelns sidor är lika långa. Då är även två av vinklarna lika (de nere i "benen").
Liksidig	Om alla sidor i en triangel är lika. I en liksidig triangel är också alla vinklar lika stora (60°).

Triangelns omkrets

Omkretsen av en triangel ∆ ABC är summan av sidornas längd. Om vi kallar omkretsen O, får vi alltså formeln

triangel

$\\O_{triangel}=a+b+c\\$

Triangelns area

Area är ett mått på storleken av ett område. Ju större område, desto större är arean. Som du kanske minns från tidigare är arean för en rektangel

rektangel

$\\ Arean\ (A)_{rektangel}=basen\ (b)\cdot h\$

Om vi drar en diagonal rakt genom en rektangel får vi två trianglar.

diagonal

Detta ger att arean för en triangel är halva arean för en rektangel med samma bas och höjd. Det ger oss formeln för arean av en triangel.

$\\A_{triangel}=\frac{b\cdot h}{2}\\$

Har man inte en rät triangel (det vill säga en triangel med en vinkel som är 90°) så måste man först rita ut höjden då höjden alltid är vinkelrät mot basen.

triangel

Nästa avsnitt: Plangeometri, Längdskala och areaskala