Matematiska modeller

Detta är ett utdrag ur boken Högstadiets Matematiktävling Vol 2 skriven av Mikael Renström och utgiven av Bokförlaget Natur och Kultur och är publicerad i samråd med författaren.

Högstadiets Matematiktävling, är precis som det låter, en tävling i matematik för högstadieelever. Vill du veta mer om Högstadiets Matematiktävling? Gå då in här

En matematik modell är en beskrivning av en del av verkligheten med hjälp av matematik. De flesta textuppgifter i din matematikbok ger exempelvis upphov till matematiska modeller, om än mycket enkla.

En matematisk modell är alltid en förenkling. När du räknar med fritt fall i fysiken, så struntar du ofta i luftmotståndet. För de flesta vardagliga tillämpningar räcker en sådan modell gott och väl, men i vetenskapliga och då ofta mycket exakta sammanhang, så är luftmotståndet en mycket viktig faktor, som inte kan negligeras. Modellen måste alltså anpassas till situationen.

Då man ritar en karta över en stad, måste man utgå från något att rita den på. För något så litet som en stad passar ett plan bra. För hela jordklotet behövs dock en sfär och om man vill vara riktigt exakt, en ellipsoid, eftersom jorden är tillplattad vid polerna. Dessutom är jorden något bucklig och om man vill vara riktigt noggrann, så tar man med alla höjningar och sänkningar, som berg dalar, floder och hav. Men för att rita en karta över en stad räcker ett plan mycket bra som förenklad matematisk modell. Att välja något annat skulle bara göra det onödigt komplicerat.

Exempel

Vanliga tärningar som man köper i butik består av en kub med avrundade kanter samt ett antal försänkningar på var sida motsvarande tärningens ögon. Man kan notera att det på sidan med sex ögon finns mindre material än på den med ett öga. Detta gäller för alla olika antal ögon, och ger upphov till att tärningen inte är helt rättvis, eftersom den lättare vänder sig åt en viss sida. Trots detta använder man metoden som beskrivs i Likformig sannolikhet (länk) för att räkna ut sannolikheter.

Som bekant är sannolikheten P för en händelse H

Felet som uppstår blir så pass litet att det kan bortses i vardagliga tillämpningar.

På casinon kastas det väldigt många tärningar. Om en sida då har en större sannolikhet, kommer kanske casinot att förlora pengar på detta, eftersom antalet spel är så otroligt stort att det kanske påverkar totalresultatet. Därför används istället speciella casinotärningar, som inte har avrundade kanter eller urgröpningar som ändrar vikten. Där är den ovan givna matematiska modellen ännu mer passande och mer exakt.

En punkt har läge, men har ingen längd, ingen bredd och ingen höjd. Man säger att den är dimensionslös och i verkliga världen finns inga såna punkter. En punkt brukar symboliseras av en prick, eller ett kryss. För att hålla isär olika punkter, brukar man namnge dem med stora bokstäver (versaler). I triangeln här nedan har vi tre punkter utmarkerade, en i varje hörn, som är namngivna A, B och C.