Kombinatorik

Kombinatorik är den del av matematiken som talar om antalet möjliga fall av något, exempelvis antalet sätt du kan köpa ett Happy Meal, antalet sätt du kan kombinera dina kläder eller antalet sätt du kan arrangera dina böcker i hyllan.

Additionsprincipen

I en korvkiosk kan man köpa fem olika sorters korvar (kokt, grillad, bamse, kabernoss och bratwurst) och tre olika sorters burgare (hamburgare, kycklingburgare och veggoburgare).

Om man nu vill köpa någonting att äta. Hur många valmöjligheter har man då?

Svaret får vi genom att addera alla valmöjligheter vi har det vill säga:

Det vill säga man har åtta olika  val.

Detta kallas för additionsprincipen, som i sin allmänna formulering säger att

Antalet sätt att välja mellan n varianter av A och m varianter av B är n+m

Det gäller för hur många A och B som helst. Man brukar använda detta för att med hjälp av andra principer, bland annat multiplikationsprincipen här nedanför för att räkna ut antal möjliga ufall.

Multiplikationsprincipen

Om du i korvkiosken har bestämt dig för att köpa en korv att äta så erbjuder korvkiosken som vi konstaterade här ovanför fem sorters korv. Till korven kan man sedan välja mellan tre olika tillbehör (bröd, mos eller pommes frites). På hur många sätt kan du då kombinera en måltid?

Vi har fem olika sorters korvar och tre olika sorters tillbehör vilket ger

Olika kombinationer. Vilka kombinationerna är kan du se i tabellen här ovanför.

Detta kallas för multiplikationsprincipen, och kan i en allmän form formuleras

Antalet sätt att välja först en av n varianter av A och därefter en av m varianter av B är n*m.

Exempel:

Vi kan använda multiplikationsprincipen för att räkna ut antalet möjliga nummerplåtar i Sverige. I Sverige består ett bilregistreringsnummer av tre bokstäver och tre siffror. Ingen av bokstäverna I, Q Å, Ä eller Ö får användas har man bestämt vilket ger att vi har 23 olika bokstäver och 10 olika siffror som vi kan kombinera. Vi får då att antalet möjliga registreringsnummer till

Det innebär att det finns registreringsnummer till 12 167 000 bilar. I verkligheten finns det färre eftersom man valt att utesluta några av de bokstavskombinationer som bildar ord som kan vara stötande.

Man kan kombinera multiplikationsprincipen med additionsprincipen

Exempel:

Säg att du i garderoben har 5 par byxor, 3 jackor, 8 t-shirts och 4 skjortor. På hur många sätt kan du välja en outfit bestående av ett par byxor, en jacka och en t-shirt eller en skjorta?

Först beräknar vi med hjälp av multiplikationsprincipen hur många kombinationer vi får av byxor och jackor

Sen räknar vi ut hur många kombinationer det finns av byxor, jacka och t-shirt

Och antalet kombinationer med byxor, jacka och skjorta

Det totala antalet outfits är då

Skrivet som en ekvation blir detta

Permutationer

Om 10 personer står i kö i matsalen, på hur många olika sätt kan de ställa sig i kön då?

Till att börja med bör vi tänka på vad vi har lärt oss innan. Det här problemet påminner mycket om multiplikationsprincipen, eller hur? Men det finns en skillnad. En person kan inte stå på två ställen i kön samtidigt. Vilket gör att till första platsen i kön så kan vem som helst av de 10 stå. Bakom den personen finns det 9 olika personer som kan ta plats 2, och till plats 3 finns det 8 personer och så vidare. Det ger att vi får antalet varianter till

Med andra ord finns det 3 628 800 varianter som de här 10 personerna kan stå på i kön.

När vi tar hänsyn till ordningen som vi har gjort här ovanför så kallas det för permutationer och inte kombinationer (där vi struntar i ordningen).

Exempel:

I en fyrsiffrig kod får bara en siffra vara med en gång. Hur många olika koder kan man skapa?

För första siffran har vi 10 siffror att välja på (0-9) och för siffra två har vi 9 siffror (alla utom den som finns på plats 1)

Det ger antalet varianter till