Negativa tal

Negativa tal är tal som är mindre än noll. Ett exempel på negativa tal är minusgraderna på en termometer. Den är mindre än noll. Ett annat exempel på ett negativt tal är en skuld. Om du har gjort av med mer pengar än du har får du ett negativt tal på ditt bankkonto som talar om hur mycket du är skyldig.

På en tallinje är de negativa talen placerade till vänster om noll. Att räkna med negativa tal är lite annorlunda från att räkna med positiva tal. För att kunna förstå vad vi gör behöver vi först förstå vad addition och subtraktion egentligen är. När vi lägger till något, det vill säga adderar, rör vi oss till höger på tallinjen, och när vi drar ifrån något, det vill säga subtraherar, rör vi oss till vänster på tallinjen.

$\\-3+4=1\\$

negativ tallinje 1

Från -3 rör vi oss 4 steg till höger, adderar med fyra, vilket gör att vi kommer till 1.

$\\-3-4=-7\\$

Tallinje 02

Från -3 rör vi oss fyra steg till vänster, subtraherar med fyra, och når då -7.

Addition, subtraktion

Att addera är detsamma som att se hur mycket två eller flera saker är tillsammans. Ett negativt tal är dock under noll, som en skuld. Om du har 100 kronor på banken och 50 kronor i skulder, så har du bara 50 kronor att spendera. På samma sätt fungerar det att addera negativa tal:

$\\100+(-50)=100-50=50\\$

Att addera -50 är detsamma som att subtrahera 50.

Vi kan tänka så här: om vi har 100 kr och lägger till en skuld på 50 kr så har vi bara 50 kr kvar. Det är samma sak som att vi har 100 kr och handlar något (subtraherar) för 50 kr. Då har vi också 50 kr kvar.

Att subtrahera är att se hur stor skillnaden, differensen, är mellan två eller flera saker är. Om talet som vi subtraherar med är mindre än noll kommer skillnaden bli större. Avståndet mellan ett flygplan som flyger 100 kilometer över havet och en ubåt på havets botten på 50 kilometers djup, är 150 kilometer eftersom det först är 100 km från luften till marken och sedan ytterligare 50 km. Vi får då att subtraktion av två negativa tal blir som följer:

$\\100-0+0-50=100-(-50)=100+50=150\, km\\$

Att subtrahera -50 är detsamma som att addera 50.

En liten minnesregel kan vara att om du har två minus så får du ett plus.

minusminus

Har vi ett munustecken framför en parantes så ändras tecken på alla termer inne i parentesen det vill säga alla minus blir plus och alla plus blir minus.

Multiplikation och division

Vid multiplikation och division med negativa tal finns det några speciella regler.

För multiplikation gäller att

Om man multiplicerar ett negativt tal och ett positivt tal, blir produkten negativ.

$\\(-3)\cdot 2=-6\\$

$\\(-a)\cdot b=-ab\\$

Om man multiplicerar två negativa tal, blir produkten positiv.

$\\(-3)\cdot (-2)=6\\ \\(-a)\cdot(-b)=ab\\$

Det här påminner om reglerna vid addition och subtraktion: två minus blir ett plus och ett plus och ett minus blir minus, men här är det resultatet, produkten, som påverkas. Vi kan utnyttja det här och räkna ut multiplikationen först som vanligt utan att tänka på minustecknen och sedan när vi fått fram produkten kolla på antalet minustecken vi har och välja tecken på produkten beroende på hur många de var.

Exempel

$\\3\cdot (-4)=-12\\$

3 multiplicerat med 4 är 12. Vi har ett positivt och ett negativt tal, så produkten blir negativ, alltså -12.

$\\(-3)\cdot (-4)=12\\$

Nu har vi två negativa tal och produkten blir då positiv. Två minus är detsamma som ett plus.

Med hjälp av detta kan vi klura ut hur vi gör vid division med negativa tal. Ett sätt att kontrollera om man gjort rätt i en division, är att multiplicera kvoten med nämnaren. Vi använder ett exempel för att visa detta:

$\\\frac{12}{3}=4\\$

För att se om vi har fått fram rätt kvot (4) så multiplicerar vi kvoten med nämnaren (3). Är det rätt kvot så blir produkten samma som täljaren (12).

$\\3\cdot 4=12\\$

Produkten blev 12, vilket är detsamma som täljaren och alltså stämde kvoten.

Vi kan använda detta för att ta reda på vad som händer vid division med negativa tal. Vi börjar med ett exempel med två negativa tal:är det samma som täljaren. Alltså ååma som täljaren. Allts tre. Det blir 1. Men det är samma sak som att subtrahera med 3, efter

$\\\frac{-12}{-3}=?\\$

För att -3 ska bli -12, måste vi multiplicera med 4.

$\\(-3)\cdot (-4)=12\\$

Och alltså är kvoten 4

$\\\frac{-12}{-3}=4\\$

Vi kan se att kvoten av två negativa tal blir positiv. Kvoten av ett negativt tal och ett positivt tal blir negativ.

$\\\frac{-12}{3}=-4\\$

Och på samma sätt blir kvoten mellan ett positivt tal och ett negativt tal negativ

$\\\frac{12}{-3}=-4\\$

Vi kan sammanfatta reglerna för när man räknar med negativa tal så här:

$\\a+(-b)=a-b\\\\ a-(-b)=a+b\\\\ (-a)\cdot b=-ab\\\\ (-a)\cdot (-b)=ab\\\\ \frac{-a}{b}=-c\\\\ \frac{a}{-b}-c\\\\ \frac{-a}{-b}=c\\\\ a-(b+c)=a-b-c\\ \\$