Förkortning och förlängning av bråk
I det förra avsnittet lärde vi oss att vi kan skriva ett bråktal på olika sätt, bland annat i sin enklaste form.
I det här avsnittet ska vi lära oss mer om hur vi kan skriva om bråktal genom vad som kallas förkortning och förlängning.
Förkortning av bråk
Vi har tidigare sett att två fjärdedelar är lika mycket som en halv. Det här kan vi skriva på detta sätt:
$$ \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$
I just det här fallet var det ganska enkelt att se att dessa båda sätt att skriva bråktalet är lika mycket värda. Men ibland har vi bråktal där det är svårare att se hur vi kan skriva om bråktalet.
Därför är det bra att det finns en räknemetod som kallas förkortning. När vi förkortar ett bråktal så dividerar vi både täljaren och nämnaren ett visst tal. Om vi till exempel vill förkorta två fjärdedelar, så kan vi dividera både täljaren och nämnaren med 2. Då får vi det här:
$$ \frac{2}{4}=\frac{\,\,\frac{2}{{\color{Red} 2}}\,\,}{\frac{4}{{\color{Red} 2}}}=\frac{1}{2}$$
I det här exemplet kunde vi förkorta bråktalet med 2 eftersom såväl täljaren som nämnaren var jämnt delbara med 2.
Ibland har vi mer komplicerade bråktal, som vi vill förkorta. Till exempel kan vi vilja förkorta det här bråktalet:
$$ \frac{9}{15}$$
Om vi undersöker detta bråktals täljare och nämnare, så kan vi lägga märke till att såväl täljaren som nämnaren är jämnt delbara med 3. Därför kan vi förkorta bråktalet med 3 genom att dividera täljaren och nämnaren med 3:
$$ \frac{9}{15}=\frac{\,\,\frac{9}{{\color{Red} 3}}\,\,}{\frac{15}{{\color{Red} 3}}}=\frac{3}{5}$$
Vi kom alltså fram till att nio femtondelar är lika mycket som tre femtedelar. Eftersom det inte finns något heltal större än 1 som vi kan jämnt dividera täljaren och nämnaren med, har vi kommit fram till att just
$$ \frac{3}{5}$$
är den enklaste formen i vilken vi kan skriva bråktalet
$$ \frac{9}{15}$$
Förkorta följande tal så långt som möjligt
- $$\frac{20}{35}$$
Först undersöker vi vilket tal vi skulle kunna förkorta bråktalet med. Vi kommer fram till att såväl 20 som 35 är jämnt delbara med 5. Därför förkortar vi bråktalet med 5:$$ \frac{20}{35}=\frac{\,\,\frac{20}{{\color{Red} 5}}\,\,}{\frac{35}{{\color{Red} 5}}}=\frac{4}{7}$$
Nu kan vi inte förkorta bråktalet längre. Därför är det nu skrivet i sin enklaste form.
$$\frac{14}{42}$$
I den här uppgiften börjar vi med att undersöka vilket tal vi kan förkorta bråktalet med. I själva verket finns här fler än ett tal som vi skulle kunna förkorta med, men vi ser direkt att både täljaren (14) och nämnaren (42) är jämna tal, så de måste vara jämnt delbara med 2. Därför förkortar vi bråktalet med 2:$$ \frac{14}{42}=\frac{\,\,\frac{14}{{\color{Red} 2}}\,\,}{\frac{42}{{\color{Red} 2}}}=\frac{7}{21}$$
Kan vi förkorta bråktalet ännu mer? Ja, i det här fallet kan vi upptäcka att såväl den nya täljaren (7) som den nya nämnaren (21) är jämnt delbara med 7. Därför fortsätter vi förkortandet genom att förkorta med 7:
$$ \frac{7}{21}=\frac{\frac{7}{{\color{Red} 7}}}{\frac{21}{{\color{Red} 7}}}=\frac{1}{3}$$
Nu står bråket i sin enklaste form, så vi kan inte förkorta det mer än så här.
Förlängning av bråk
Ibland kan det vara så att vi har två bråktal och vill ta reda på vilket av dem som är störst. Ett sätt att ta reda på det är genom att förlänga bråken, så att bråktalen har samma nämnare.
Till exempel kan vi vilja bestämma vilket av bråken
$$ \frac{3}{5}$$
$$och$$
$$ \frac{5}{8}$$
som är störst.
Vi börjar med att lägga märke till att de båda bråken har olika nämnare. Vi vet att en femtedel är mer än en åttondel:
\(\frac{1}{5}\)
\(\frac{1}{8}\)
Eftersom de två bråktalen har olika nämnare är det svårt att se vilket som är störst. Därför behöver vi skriva om bråktalen, så att de har samma nämnare och vi därigenom kan jämföra bråktalens värden.
När vi vill förlänga ett bråk, multiplicerar vi såväl täljaren som nämnaren med ett visst tal. Om vi vill kunna jämför de båda bråktalen ovan, så vill vi hitta lämpliga tal att multiplicera med. Eftersom vi vill att de båda bråken ska ha en gemensam nämnare, kan vi förlänga det första bråktalet med 8 och det andra bråktalet med 5. Gör vi det så får vi det här, när vi förlänger vårt första bråktal med 8:
$$ \frac{3}{5}=\frac{3\,{\color{Blue} {\cdot \,8}}}{5\,{\color{Blue}{ \cdot \,8}}}=\frac{24}{40}$$
Tre femtedelar är alltså detsamma som tjugofyra fyrtiondelar. Vi förlänger även vårt andra bråktal, denna gång med 5:
$$ \frac{5}{8}=\frac{5\,{\color{Blue}{ \cdot \,5}}}{8\,{\color{Blue} {\cdot \,5}}}=\frac{25}{40}$$
Nu har vi skrivit om de båda bråktalen så att de har samma nämnare, 40. Det innebär att vi bara behöver jämföra deras täljare för att komma fram till vilket av bråktalen som är störst. Eftersom täljaren 25 är större än täljaren 24, är
$$ \frac{25}{40}\,\,större\,än\,\,\frac{24}{40}$$
vilket betyder att
$$ \frac{5}{8}\,\,är\,större\,än\,\,\frac{3}{5}$$
Förläng följande bråktal så att nämnaren blir lika med 100
-
$$\frac{3}{4}$$
Eftersom vi vill förlänga bråktalet så att dess nämnare blir lika med 100, får vi undersöka vilket tal 4 behöver multipliceras med för att produkten ska bli lika med 100. Vi har alltså det här:$$ 4\cdot \square=100$$
Det tal vi är ute efter är 25, eftersom
$$ 4\cdot 25=100$$
Vi förlänger därför vårt ursprungliga bråktal med 25, vilket ger oss det här:
$$ \frac{3}{4}=\frac{3\,{\color{Blue} {\cdot \,25}}}{4\,{\color{Blue} {\cdot \,25}}}=\frac{75}{100}$$
Nu är vårt bråk skrivet med nämnaren 100.
$$\frac{7}{20}$$
På motsvarande sätt som i uppgiften ovan, börjar vi med att undersöka vilket tal vi behöver multiplicera 20 med för att produkten ska bli lika med 100.$$ 20\cdot \square =100$$
Här är vi ute efter talet 5, eftersom
$$ 20\cdot 5=100$$
Vi ska alltså förlänga vårt ursprungliga bråktal med 5, vilket ger oss det här:
$$ \frac{7}{20}=\frac{7\,{\color{Blue}{ \cdot \,5}}}{20\,{\color{Blue}{ \cdot \,5}}}=\frac{35}{100}$$
Nu är vårt bråk skrivet med nämnaren 100.
Videolektioner
I den här videon går vi igenom förlängning av bråktal.
I den här videon går vi igenom förkortning av bråktal.
Här går vi igenom några exempel på hur man förkortar samt förlänger bråktal.