Ekvationslösning

I det här avsnittet ska vi lära oss mer om hur vi gör för att hitta lösningar på ekvationer.

Lösning till en ekvation

Som vi såg i det förra avsnittet om ekvationer är en ekvation ett sätt att skriva att två uttryck ska vara lika med varandra.

Ett exempel på en ekvation med en variabel är

$$ 3+x=5$$

Uttrycket på den vänstra sidan av likhetstecknet ska vara lika med uttrycket på den högra sidan av likhetstecknet.

Att lösa en ekvation innebär att vi hittar värden på alla de variabler som finns i ekvationen, så att uttrycken på båda sidor blir lika. I exemplet ovan är lösningen till ekvationen

$$ x=2$$

Sätter vi in detta värde istället för x i ekvationen och beräknar värdet på den vänstra sidan, så får vi det här:

$$3+2=5$$

$$5=5$$

Eftersom den vänstra sidan blev lika med den högra sidan stämmer vår lösning.

Ekvationslösning

När den ekvation som vi försöker lösa är mer komplicerad, då kan vi behöva undersöka ekvationen närmare för att hitta en lösning. Vi ska därför titta på några mer komplicerade exempel på ekvationer och hur vi kan göra för att lösa dem.

---

Lös ekvationen

$$ 3+2x=11$$

När vi ska försöka lösa den här ekvationen ser vi att 3 plus något tal 2x ska vara lika med 11. Vilket tal måste då 2x vara lika med? Vi vet att

$$ 3+8=11$$

Därför måste 2x vara lika med 8 för att ekvationen ska stämma:

$$ 2x=8$$

Nu kan vi se att 2 multiplicerat med det okända talet x ska vara lika med 8. Vilket tal x passar in? Den enda möjliga lösningen är 4, eftersom

$$ 2\cdot 4=8$$

Lösningen till ekvationen är därför

$$ x=4$$

Vi kan pröva om lösningen stämmer. Sätter vi in vår lösning i ekvationen

$$ 3+2x=11$$

så får vi det här:

$$3+2\cdot 4=11$$

$$3+8=11$$

$$11=11$$

Eftersom den vänstra sidan (11) är lika med den högra sidan (11) stämmer vår lösning.

---

Lös ekvationen

$$ \frac{x}{2}+4=12$$

Här vet vi att något tal x/2 plus 4 ska vara lika med 12. Vilket tal måste x/2 vara lika med för att det ska kunna stämma? Det enda möjliga talet som gör det möjligt är 8, eftersom

$$ 8+4=12$$

Därför vet vi att den här likheten ska gälla:

$$ \frac{x}{2}=8$$

Nu kan vi se att hälften av något tal x ska vara lika med 8. Vilket tal kan då x vara?

Funderar vi på saken så kommer vi snart fram till att den enda möjligheten är att x är lika med 16, eftersom

$$ \frac{16}{2}=8$$

Därför har vi den här lösningen till ekvationen:

$$ x=16$$

Vi prövar lösningen genom att sätta in värdet 16 istället för x i vår ekvation, som från början såg ut så här:

$$ \frac{x}{2}+4=12$$

Sätter vi in 16 istället för x i denna ekvation så får vi det här:

$$\frac{16}{2}+4=12$$

$$8+4=12$$

$$12=12$$

Eftersom den vänstra sidan i ekvationen blev lika med den högra sidan i ekvationen stämmer den lösning som vi hittat.

---

Prövning av lösning till en ekvation

Som vi redan har sett kan vi pröva lösningar för att se om vi har räknat rätt. Vi prövar en lösning till en ekvation genom att vi sätter in det värde vi har hittat istället för variabeln. Nu ska vi titta på några exempel, där vi prövar lösningar till ekvationer.

---

Pröva om x = 5 är en lösning till ekvationen

$$ \frac{1+x}{3}=2$$

För att pröva lösningen till ekvationen sätter vi in 5 istället för x i ekvationen. Vi får då det här:

$$\frac{1+5}{3}=2$$

$$\frac{6}{3}=2 $$

$$2=2$$

Eftersom värdet av uttrycket som stod till vänster i ekvationen blev lika med värdet av uttrycket till höger i ekvationen, visade det sig att lösningen stämmer. x = 5 är alltså en lösning till ekvationen.

---

Pröva om x = 2 är en lösning till ekvationen

$$ 2\cdot (3-x)=4$$

På samma sätt som i det förra exemplet prövar vi lösningen genom att vi sätter in 2 istället för x i ekvationen. Vi får då det här:

$$ 2\cdot (3-2)=4$$

$$2\cdot 1=4$$

$$2=4$$

Det visade sig att om x = 2 skulle vara en lösning till ekvationen, då måste i så fall 2 vara lika med 4. Men det vet vi ju att det inte är. Därför kan inte x = 2 vara en lösning till ekvationen.

Eftersom det lösningsförslag som vi testade inte stämde, kan vi försöka hitta en riktig lösning till ekvationen.

Om vi tittar på ekvationen

$$ 2\cdot (3-x)=4$$

så kan vi se att 2 multiplicerat med något tal som står inom parentesen ska vara lika med 4.

Därför måste uttrycket inom parentesen vara lika med 2:

$$ 3-x=2$$

Vilket tal x gör så att 3 minus x blir lika med 2? Jo, x = 1 är den enda möjliga lösningen.

Vi prövar denna lösning genom att sätta in 1 istället för x i den ursprungliga ekvationen:

$$2\cdot (3-1)=4 $$

$$2\cdot 2=4$$

$$4=4$$

Det stämmer alltså att x = 1 är en lösning till ekvationen.

---

Videolektioner

I den här videon går vi igenom ekvationslösning.

I den här videon går vi igenom hur vi löser två ekvationer.

I den här videon testar vi lösningar till två ekvationer.