Multiplikation och division av bråk
I det förra avsnittet repeterade vi addition och subtraktion av bråk. Att addera eller subtrahera två bråktal visade sig vara enklare om bråktalen har gemensamma nämnare. Om bråktalen har olika nämnare behöver vi först förkorta eller förlänga så att bråktalen får gemensamma nämnare.
Nu ska vi undersöka hur vi gör med de andra två räknesätten, multiplikation och division, när vi räknar med bråktal.
Multiplikation av bråk
Vad innebär det att vi multiplicerar två bråktal? Till exempel kan vi beräkna följande produkt:
$$ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}$$
Vi kan tolka den här produkten som att vi vill veta hur mycket hälften (1/2) av en tredjedel (1/3) är. Eftersom vi vet att
$$ \frac{1}{3}=\frac{2}{6}$$
måste värdet av vår sökta produkt vara hälften av två sjättedelar, det vill säga en sjättedel (1/6).
Det betyder att följande samband gäller:
$$ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$
Den allmänna regel som gäller vid multiplikation av bråktal är att de båda bråktalens täljare multipliceras med varandra och likaså multipliceras deras nämnare med varandra. Denna räkneregel sammanfattas så här:
$$ \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$$
där a, b, c och d är heltal (b eller d får inte ha värdet noll).
Vi ska nu beräkna produkten av två mer komplicerade bråktal med hjälp av denna räkneregel:
$$ \frac{3}{7}\cdot \frac{4}{5}$$
När vi beräknar produkten skriver vi den på ett nytt bråkstreck och multiplicerar bråktalens täljare och nämnare med varandra. Vi får då denna produkt:
$$ \frac{3}{7}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3\cdot 4}{7\cdot 5}=\frac{12}{35}$$
Beräkna produkten
$$ \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}$$
Vi beräknar produkten genom att multiplicera täljarna för sig och nämnarna för sig:
$$ \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{3\cdot 1}{4\cdot 3}=\frac{3}{12}$$
Nu har vi beräknat produkten, men vi kan förenkla det bråktal vi fick, eftersom båda täljaren 3 och nämnaren 12 är jämnt delbara med 3. Vi förenklar bråktalet genom att förkorta det med 3:
$$ \frac{3}{12}=\frac{\,\,\frac{3}{{\color{Red} 3}}\,\,}{\frac{12}{{\color{Red} 3}}}=\frac{1}{4}$$
Bråktalet är nu skrivet i enklaste form.
Beräkna produkten
$$ 4\cdot \frac{3}{18}$$
Vårt uttryck är ett heltal 4 multiplicerat med ett bråktal 3/18. Heltalet 4 kan vi dock skriva om i bråkform som 4/1 (som vi tolkar som fyra hela), så att vi sedan kan använda räkneregeln för multiplikation av bråk.
Vi skriver därför om heltalet 4 i bråkform och beräknar sedan produkten:
$$ 4\cdot \frac{3}{18}=\frac{4}{1}\cdot \frac{3}{18}=\frac{4\cdot 3}{1\cdot 18}=\frac{12}{18}$$
Det här är i själva verket samma bråktal som vi hade fått om vi direkt räknade så här:
$$ {\color{Blue} 4}\cdot \frac{{\color{Red} 3}}{18}=\frac{{\color{Blue} 4}\cdot {\color{Red} 3}}{18}=\frac{12}{18}$$
Så här kan vi alltid räkna när vår produkt är ett heltal multiplicerat med ett bråktal.
Det bråktal vi fick kan vi förenkla, eftersom både täljaren 12 och nämnaren 18 är jämnt delbar med 6:
$$ \frac{12}{18}=\frac{\,\,\frac{12}{{\color{Red} 6}}\,\,}{\frac{18}{{\color{Red} 6}}}=\frac{2}{3}$$
Nu är bråktalet skrivet i enklaste form.
Division av bråk
Vad innebär det att vi dividerar två bråktal? Till exempel kan vi beräkna följande kvot:
$$ \frac{\,\,\frac{1}{2}\,\,}{\frac{1}{8}}$$
Vi kan tolka den här kvoten som att vi vill veta hur många åttondelar (1/8) som det finns i en halv (1/2).
En halv (1/2) kan vi skriva om som åttondelar genom att förlänga bråket med 4:
$$ \frac{1}{2}=\frac{4\cdot 1}{4\cdot 2}=\frac{4}{8}$$
En halv är alltså detsamma som fyra åttondelar. Det innebär att det finns fyra åttondelar i en halv, så en halv delat med en åttondel ska vara lika med 4:
$$ \frac{\,\,\frac{1}{2}\,\,}{\frac{1}{8}}=4$$
För att räkna ut detta direkt kan vi ersätta kvoten mellan de två bråktalen med en produkt, som ser ut så här:
$$ \frac{\,\,\frac{1}{2}\,\,}{\frac{{\color{Blue} 1}}{{\color{Red} 8}}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{{\color{Red} 8}}{{\color{Blue} 1}}$$
Vad vi gjorde här var att vi behöll täljaren som den var från början (1/2) och multiplicerade den med nämnarens inverterade värde (8/1). Ett bråktals inverterade värde får vi genom att vi byter plats på bråktalets täljare och nämnare.
Vi räknar vidare med hjälp av räkneregeln för multiplikation av bråktal:
$$ \frac{1}{2}\cdot \frac{8}{1}=\frac{1\cdot 8}{2\cdot 1}=\frac{8}{2}=4$$
Som väntat blev resultatet av vår uträkning lika med 4.
Det finns en allmän räkneregel som gäller då vi dividerar två bråktal med varandra:
$$ \frac{\,\,\frac{a}{b}\,\,}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$$
där a, b, c och d är heltal (b, c eller d får inte ha värdet noll).
Beräkna kvoten
$$ \frac{\,\,\frac{2}{5}\,\,}{\frac{2}{3}}$$
Vi ska beräkna denna kvot genom att använda räkneregeln för division av två bråktal.
För att använda denna regel börjar vi med att bestämma det inverterade värdet till bråktalet 2/3, som vi alltså får genom att vi byter plats på täljaren 2 och nämnaren 3. Det inverterade värdet till bråktalet 2/3 är därför 3/2.
Nu kan vi beräkna kvoten med hjälp av räkneregeln:
$$ \frac{\,\,\frac{2}{5}\,\,}{\frac{{\color{Blue} 2}}{{\color{Red} 3}}}=\frac{2}{5}\cdot \frac{{\color{Red} 3}}{{\color{Blue} 2}}=\frac{2\cdot {\color{Red} 3}}{5\cdot {\color{Blue} 2}}=\frac{6}{10}$$
Vi kan förenkla denna kvot genom att förkorta med 2, vilket ger oss bråktalet i enklaste form:
$$ \frac{6}{10}=\frac{\frac{6}{{\color{Red} 2}}}{\frac{10}{{\color{Red} 2}}}=\frac{3}{5}$$
Videolektioner
Här går vi igenom multiplikation av bråktal med heltal.
Här går vi igenom multiplikation med bråktal.
Här går vi igenom division med bråktal.
Här går vi igenom division av bråktal med inverterad nämnare.
I den här videon går vi igenom multiplikation med bråktal.
I den här videon går vi igenom division med bråktal.