Räkna med kvadratrötter

I det här avsnittet ska vi lära oss några räkneregler som gör det enklare att räkna med kvadratrötter.

Multiplikation av kvadratrötter

Vi ska nu undersöka vilka räkneregler som gäller vid multiplikation av kvadratrötter. Därför börjar vi med ett enkelt exempel:

$$ \sqrt{16}\cdot\sqrt{4}$$

Från det inledande avsnittet om kvadratrötter vet vi att vi kan förenkla denna produkt så här:

$$ \sqrt{16}\cdot\sqrt{4}=4\cdot2=8$$

Men vi vet också att det finns ett annat tal, vars kvadratrot är lika med 8, nämligen

$$ \sqrt{64}=8$$

Av det här kan vi dra slutsatsen att denna likhet gäller:

$$ \sqrt{16}\cdot\sqrt{4}=\sqrt{64}$$

Talet 64 kan vi också skriva som produkten av 16 och 4, så

$$ \sqrt{16}\cdot\sqrt{4}=\sqrt{16\cdot4}=\sqrt{64}$$

Att vi kan skriva likheten på det här sättet är inte någon slump. I själva verket är det här en allmän räkneregel som gäller vid multiplikation av kvadratrötter:

$$ \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$$

där a och b är positiva tal.

Det här sambandet kan vi ha användning för då vi räknar med kvadratrötter som vi annars inte kan förenkla utan att beräkna närmevärden.

Till exempel kan vi vilja beräkna den här produkten:

$$ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$$

Istället för att början beräkna närmevärden för de båda faktorerna, väljer vi att använda den räkneregel som vi just lärt oss. Då får vi denna betydligt enklare beräkning, som vi klarar av att räkna i huvudet:

$$ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{2\cdot8}=\sqrt{16}=4$$

---

Förenkla uttrycken så långt som möjligt

$$ a)\,\,\sqrt{32}\cdot\sqrt{2}$$

$$b)\,\,(\sqrt{7})^{2}$$

Lösningsförslag:

a)

Vi använder räkneregeln för multiplikation av kvadratrötter:

$$ \sqrt{32}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8$$

b)

Även i det här fallet kan vi använda räkneregeln för multiplikation av kvadratrötter. För att vara tydliga kan vi först skriva om uttrycket innan vi använder räkneregeln:

$$ (\sqrt{7})^{2}=\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=\sqrt{7\cdot7}=\sqrt{49}=7$$

Här förenklade vi uttrycket genom räkneregeln för multiplikation av kvadratrötter, men vi hade också kunnat slippa använda denna regel om vi kom ihåg definitionen av en kvadratrot och såg att

$$ \sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=7$$

---

Division av kvadratrötter

När vi har att göra med division av kvadratrötter, finns det en räkneregel som liknar den som vi nyss lärde oss för multiplikation.

Räkneregeln för division av kvadratrötter är

$$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$

där a och b är positiva tal.

Vi kan till exempel komma fram till att

$$ \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{16}}=\frac{8}{4}=2$$

och att

$$ \sqrt{\frac{64}{16}}=\sqrt{4}=2$$

vilket ju innebär att

$$ \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{16}}=\sqrt{\frac{64}{16}}$$

På samma sätt som för räkneregeln för multiplikation av kvadratrötter, innebär den här räkneregeln att vi ibland kan förenkla kvoter av kvadratrötter utan att behöva beräkna närmevärden.

Ett exempel på detta är kvoten

$$ \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{8}}$$

där vi kan använda räkneregeln för att slippa ha att göra med närmevärden. Vi förenklar därför uttrycket med hjälp av räkneregeln för division av kvadratrötter och få då detta:

$$ \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{32}{8}}=\sqrt{4}=2$$

---

Beräkna kvoten

$$ \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$$

Vi kan inte beräkna täljaren eller nämnaren utan att få närmevärden, så vi använder istället räkneregeln för division av kvadratrötter, vilket ger oss det här:

$$ \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$$

---

Beräkna kvoten

$$ \frac{2}{\sqrt{2}}$$

I det här fallet är det bara nämnaren som är en kvadratrot. Hur gör vi då?

Jo, vi kan skriva täljaren 2 som en produkt av två kvadratrötter, så här:

$$ 2=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}$$

Om vi använder det sättet att skriva talet 2 på, så kan vi skriva vårt ursprungliga uttryck så här:

$$ \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$

Eftersom vi har faktorn kvadratroten ur 2 gemensam i täljaren och nämnaren, kan vi förkorta uttrycket:

$$ \frac{\sqrt{2}\cdot{\color{Red}{\sqrt{2}}}} {{\color{Red}{\sqrt{2}}}}=\sqrt{2}\approx1,41$$

Här ovan har vi beräknat ett närmevärde med två decimalers noggrannhet av kvadratroten ur 2, men om vi vill ge ett exakt svar, så skriver vi bara

$$ \sqrt{2}$$

Att skriva svaret exakt, på detta sätt, har flera fördelar. En fördel är att vi kan använda det exakta svaret i andra beräkningar, vilket ofta fungerar bättre än om det är avrundat. En annan fördel är att vi med hjälp av det här exakta uttrycket kan beräkna närmevärden med olika många decimalers noggrannhet, om vi till exempel vill veta närmevärdet med ett större antal decimaler än 2.

Videolektioner

Här går vi igenom kvadratrötter och kvadratens area.

Här går vi igenom multiplikation med kvadratrötter.

Här går vi igenom division med kvadratrötter.