Sannolikhet

Vi har tidigare lärt oss hur vi kan skriva tal i bråkform eller i procentform.

Att kunna skriva tal i dessa olika former kommer vi att ha användning för i det här avsnittet, för nu kommer vi att lära oss hur vi räknar på sannolikheten för att olika händelser ska ske.

Vad är sannolikhet?

I vissa situationer vet vi inte vad som kommer att hända. Men ofta i sådana situationer kan vi ändå ta reda på hur stor sannolikheten, eller chansen, är att en viss händelse sker. Den del av matematiken som handlar om sannolikheter kallas sannolikhetsläran.

Till exempel kan vi räkna ut hur stor chansen är att du får en vinstlott när du spelar på lotteri, om vi vet hur många vinstlotter det finns och hur många lotter det finns totalt.

Om du singlar en slant så vet du inte i förväg vilken sida av myntet som kommer att hamna uppåt - krona eller klave. Men du vet att det kommer att bli antingen krona eller klave. Vi säger därför att det finns två möjliga utfall. Med ett utfall menar vi en viss händelse som kan ske. Vi vet också att det i det här fallet är lika stor chans att det blir krona som att det blir klave.

Vi säger då att sannolikheten för att få exempelvis klave är 50 %, vilket vi ju kan skriva på några olika sätt:

$$ 50\,\%=0,5=\frac{1}{2}$$

Sannolikheten att få krona är lika stor, 50 %.

Sannolikheten för att en viss händelse ska ske brukar betecknas med P (vilket kommer från engelskans ord probability, som betyder sannolikhet).

Därför kan vi skriva sannolikheten att få klave respektive krona så här:

$$P(klave)=50\,\%$$

$$P(krona)=50\,\%$$

Om det är lika troligt att de olika möjliga utfallen sker, då kan vi allmänt beräkna vi sannolikheten för att en viss händelse ska ske så här:

$$ P=\frac{antal\,gynnsamma\,utfall}{antal\,möjliga\,utfall}$$

I exemplet där vi singlade slant, kan vi vilja undersöka sannolikheten att få krona. Då är krona det enda gynnsamma utfallet, eftersom det är just den händelsen vi är intresserade av. Antalet möjliga utfall är två, eftersom vi kan få antingen krona eller klave. Därför beräknar vi sannolikheten för krona så här:

$$ P(krona)=\frac{antal\,gynnsamma\,utfall}{antal\,möjliga\,utfall}=\frac{1}{2}=50\,\%$$

Det är precis samma sannolikhet som vi kom fram till tidigare, men den här definitionen av sannolikhet är mycket användbar i mer komplicerade situationer, vilket vi kommer att se senare.

En annan egenskap hos sannolikheter som vi behöver känna till är att sannolikheten för att en händelse antingen ska ske eller inte ske alltid är tillsammans lika med 100 %. När vi singlar slant är därför sannolikheten att vi antingen får klave eller inte klave, tillsammans lika med 100 %:

$$ P(klave)+P(inte\,klave)=1=100\,\%$$

Räkna med sannolikheter

När vi nu vet vad en sannolikhet är och hur vi kan beräkna den, ska vi undersöka några mer komplicerade situationer.

Om vi kastar en vanlig tärning med sex sidor, hur stor är då sannolikheten att vi får en 3:a?

Vi använder oss av definitionen av sannolikhet, som är kvoten mellan antalet gynnsamma utfall och antalet möjliga utfall. Det finns bara ett gynnsamt utfall, eftersom vi bara är intresserade av fallet då tärningen visar en 3:a. Eftersom tärningen har 6 sidor och det är lika troligt att respektive sida kommer upp när vi kastar tärningen, finns det 6 möjliga utfall.

Därför kan vi beräkna sannolikheten för att få en 3:a när vi kastar tärningen, så här:

$$ P(3)=\frac{antal\,gynnsamma\,utfall}{antal\,möjliga\,utfall}=\frac{1}{6}\approx 16,7\,\%$$

Sannolikheten för att få en 3:a var alltså en sjättedel, vilket är ungefär 16,7 %.

Hur stor är sannolikheten för att inte få en 3:a, när vi kastar tärningen?

Även denna gång använder vi oss av definitionen av sannolikhet. I detta fall är det ett gynnsamt utfall om tärningen visar något annat än en 3:a, vilket ju är när tärningen visar 1, 2, 4, 5 eller 6. Alltså finns det i det här fallet 5 stycken gynnsamma utfall. Antalet möjliga utfall är fortfarande 6 stycken, eftersom tärningen har 6 sidor.

Därför kan vi beräkna sannolikheten för att inte få en 3:a när vi kastar tärningen, så här:

$$ P(inte\,3)=\frac{antal\,gynnsamma\,utfall}{antal\,möjliga\,utfall}=\frac{5}{6}\approx 83,3\,\%$$

Vi kan också komma ihåg att sannolikheten för att en händelse sker eller inte sker alltid är 1, vilket vi ser här:

$$P(3)+P(inte\,3)=$$

$$=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=$$

$$=\frac{1+5}{6}=$$

$$=\frac{6}{6}=1=100\,\%$$


Om du kastar en sexsidig tärning, hur stor är sannolikheten för att du får en 5:a eller en 6:a?

När vi ska beräkna sannolikheten börjar vi med att undersöka vilka som är våra gynnsamma utfall.

I det här fallet är de gynnsamma utfallen att tärningen visar antingen en 5:a eller en 6:a. Antalet gynnsamma utfall är därför 2 stycken.

Hur många möjliga utfall finns det? Eftersom tärningen har 6 sidor finns det 6 möjliga utfall när tärningen kastas en gång.

Därför kan vi beräkna sannolikheten för att få en 5:a eller en 6:a, så här:

$$ P(5\,eller\,6)=\frac{antal\,gynnsamma\,utfall}{antal\,möjliga\,utfall}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 33,3\,\%$$

Sannolikheten att vi får antingen en 5:a eller en 6:a är alltså en tredjedel, vilket är ungefär 33,3 %.


Om du kastar en sexsidig tärning, hur stor är sannolikheten för att du får en jämn siffra eller en 1:a?

Den här situationen är lite komplicerad, men vi kan beräkna sannolikheten om vi först undersöker de möjliga utfallen och de gynnsamma utfallen.

Tärningen är sexsidig, så det finns 6 möjliga utfall.

De jämna siffrorna är 2, 4 och 6. Därför är de gynnsamma utfallen 1, 2, 4 och 6, vilket är 4 stycken gynnsamma utfall.

Därför kan vi beräkna sannolikheten för att få antingen en jämn siffra eller en 1:a när du kastar tärningen, så här:

$$P(jämn\,eller\,1)=\frac{antal\,gynnsamma\,utfall}{antal\,möjliga\,utfall}=$$

$$=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\approx 66,7\,\%$$

Sannolikheten att få antingen en jämn siffra eller en 1:a är alltså två tredjedelar, vilket är ungefär 66,7 %.


Videolektion

Har du en fråga du vill ställa om Sannolikhet? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!