Uppgift 10
Ladda ner provet från Mattebokens provbank här.
\(\begin{align} (a+b)^2 & =25 \\ (a-b)^2 & =121 \end{align}\)
Vilket värde har \(ab\)?
A. -55
B. -24
C. 24
D. 55
Lösningsförslag
För denna uppgift kommer vi ge två lösningsförslag. Det vi söker är produkten av talen \(a\) och \(b\).
Lösningsförslag 1:
Vi ser ekvationerna som ett ekvationsystem som vi ska lösa med hjälpa av additionsmetoden.
$$\begin{cases} (a+b)^2 =25 \\ (a-b)^2 =121 \end{cases}$$
$$\implies$$
$$\begin{cases} a+b =5 \\ a-b =11 \end{cases}$$
Nu lägger vi ihop ekvationerna med hjälp av additionsmetoden och får följande ekvation:
$$\begin{align}(a+b)+(a-b)&=5+11 \\ 2a&=16\\ a&=8 \end{align}$$
Nu kan vi enkelt lösa ut \(b\) genom att sätta in värdet på \(a\) i en av ekvationerna från ekvationssystemet, vi väljer den första ekvationen:
$$8+b=5 \implies b=-3$$
Produkten av \(a=8\) och \(b=-3\) blir: \(8\cdot (-3)=-24\). Svaret är alltså B.
Lösningsförslag 2:
I denna lösning kommer vi förlänga vänsterleden med hjälpa av kvadreringsreglerna, och sedan lösa dessa ekvationer som ett ekvationssystem med samma metod som ovan. Detta för att undvika att beräkna \(a\) och \(b\) enskilt.
Kvadreringsreglerna ger:
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
Vi har nu ekvationssystemet:
$$\begin{cases} a^2+2ab+b^2 = 25 \\ a^2-2ab+b^2=121 \end{cases}$$
Nu subtraherar vi ekvation 2 med ekvation 1.
$$\begin{align}(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2) & =25-121 \\ a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2 & = -96 \\ 4ab & = -96 \\ ab &= - \frac{96}{4} \\ ab &= -24 \end{align}$$
Produkten är -24 och rätt svar är B.
Svar: B
Uppgiften är hämtad ur Högskoleprovets kvantitativa del höstterminen 2017, Provpass 3 - Ladda ner provet här.