Uppgift 6
$$\frac{x(y-z)}{y(x+y+z)}=\frac{1}{3}$$
Om x = 4 och y = 3, vad är då z?
A 1
B 2
C 3
D 4
Från uppgiftstexten vet vi att x = 4 och y = 3, så vi börjar med att byta ut x och y i uttrycket mot 4 respektive 3.
$$\frac{4(3-z)}{3(4+3+z)}=\frac{1}{3}$$
Nu har vi en ekvation med bara en obekant, z. För att ta reda på vilket värde z måste ha, förenklar vi först uttrycket i det vänstra ledet.
$$\frac{12-4z}{3(7+z)}=\frac{1}{3}$$
$$\frac{12-4z}{21+3z}=\frac{1}{3}$$
Eftersom vi har en obekant, z, i nämnaren i det vänstra ledet, multiplicerar vi båda leden med nämnaren 21 + 3z.
$$\frac{({\color{Blue} {21+3z}})\cdot (12-4z)}{21+3z}=\frac{({\color{Blue} {21+3z}})\cdot 1}{3}$$
$$12-4z=\frac{21+3z}{3}=7+z$$
Slutligen använder vi addition och subtraktion för att lösa ut z.
$$12-4z=7+z$$
$$12-4z+{\color{Blue} {4z}}=7+z+{\color{Blue} {4z}}$$
$$12=7+5z$$
$$12{\color{Red} {\,-\,7}}=7+5z{\color{Red} {\,-\,7}}$$
$$5=5z$$
$$z=1$$
Vi kom alltså fram till att z = 1.
Rätt svarsalternativ är därför A (1).
Dock hade vi inte behövt lösa ekvationen på detta sätt för att komma fram till rätt svarsalternativ. Eftersom vi kände till de fyra möjliga svarsalternativen, hade det nämligen också gått bra att förenkla det givna uttrycket en bit och sedan pröva de olika svarsförslagen.
Om vi kommit fram till denna ekvation
$$\frac{12-4z}{21+3z}=\frac{1}{3}$$
kan vi helt enkelt pröva oss fram med de olika värdena.
Svarsförslaget z = 1 ger oss
$$\frac{12-4}{21+3}=\frac{1}{3}$$
$$\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$$
Som tur var för oss gäller denna likhet, så vi hittade direkt det rätta svaret, z = 1.
På motsvarande sätt kunde vi ha prövat z = 2, z = 3 och z = 4 till dess vi kom fram till rätt värde.
z = 2 hade till exempel resulterat i följande:
$$\frac{12-8}{21+6}=\frac{1}{3}$$
$$\frac{4}{27}\,{\color{Red} \neq}\,\frac{1}{3}$$
Därför kunde inte z = 2 vara en lösning.