Förenkla uttryck

I det förra avsnittet gick vi igenom hur man kan använda formler och ekvationer för att lösa algebraiska problem. Men vi kommer snart att stöta på vissa av algebraiska problem eller ekvationer som innehåller komplicerad uttryck som man behöver förenkla för att kunna lösa problem.

I det här avsnittet går vi igenom hur man kan förenkla uttryck, så att de inte står i en onödigt komplicerad form.

Som vi känner till sedan tidigare kan man se multiplikation som upprepad addition. Exempelvis är

$$3\cdot 2=2+2+2=6$$

På samma sätt är

$$3\cdot x=x+x+x$$

Genom att veta att det fungerar på detta sätt kan vi enkelt förenkla algebraiska uttryck. Förenkling av ett algebraiskt uttryck innebär att vi tillämpar räkneregler för att samla liknande termer för sig, för att göra uttrycket mindre komplicerat.

Om vi exempelvis har uttrycket \(3x + 4x\), så kan vi skriva om och förenkla det så här:

$$ \begin{equation} \begin{split} 3x + 4x &=\\ &=(x+x+x)+(x+x+x+x)&=\\ &=x+x+x+x+x+x+x &=\\ &=7x \end{split} \end{equation} $$

På samma sätt kan vi visa vad som gäller vid subtraktion av algebraiska uttryck:

$$ \begin{equation} \begin{split} 6x - x &=\\ &=(x+x+x+x+x+x)- x &=\\ &=x+x+x+x+x+x-x &=\\ &=5x \end{split} \end{equation} $$

Om vi både har variabler och konstanter i samma uttryck, förenklar vi dem var för sig, vilket vi visar i följande exempel:

$$4x+5+x-2=(4x+x)+(5-2)=5x+3$$

Om vi har fler än en variabel, förenklar vi även dem var för sig, som vi visar i detta exempel:

$$ \begin{equation} \begin{split} 3y+5x-8y+7+9y-3x &=\\ &=(3y-8y+9y)+(5x-3x)+7 &=\\  &=4y+2x+7 \end{split} \end{equation} $$

Ofta förekommer variabler i potensform, exempelvis \(x^2\) och \(y^3\). På samma sätt som med variabler i andra sammanhang behandlar vi dem som okända tal. Om variablerna i potensform är av olika gradtal (alltså har olika exponenter), måste även de förenklas var för sig. Man brukar skriva variablerna ordnade så att de med högst gradtal kommer först och sedan i fallande skala, på följande sätt:

$$ \begin{equation} \begin{split} 7x^{2}+8x-5x+7x+3x^{2} &=\\ &=(7x^{2}+3x^{2})+(8x-5x+7x) &=\\  &=10x^{2}+10x \end{split} \end{equation} $$

Om variablerna är multiplicerade med varandra förenklas de separat:

$$ \begin{equation} \begin{split} 7xy+42x+9y+3xy-3x &=\\ &=(7xy+3xy)+(42x-3x)+(9y) &=\\  &=10xy+39x+9y \end{split} \end{equation} $$

Om det uttryck man vill förenkla innehåller parenteser tar man först bort dessa innan man förenklar uttrycket:

$$ \begin{equation} \begin{split} x+4(x-8) &=\\ &=x + 4x-4\cdot 8 &=\\  &= x+4x-32 &=\\ &=5x-32 \end{split} \end{equation} $$