Kvadratrötter och andra rötter

Vi har i ett tidigare avsnitt lärt oss vad potenser är och hur man räknar med dem. I det här avsnittet ska vi lära oss om kvadratrötter och andra rötter, och se hur de förhåller sig till potenser.

Kvadratrötter

Kvadratroten ur ett tal \(a\) är ett tal som upphöjt till \(2\) är lika med \(a\). Talet \(a\) är större eller lika med \(0\). \(\sqrt{a}\) är en kvadratrot ur \(a\) om:

$$\left ( \sqrt{a} \right)^2= \sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

där \(a \geq 0 \) och \( \sqrt{a} \geq 0 \).

Ofta kallas kvadratroten ur \(a\) bara för "roten ur \(a\)".

Vi tittar på ett exempel:

$$3^2=9$$

Det vänstra ledet är en potens med basen \(3\) och exponenten \(2\). Det högra ledet är produkten.

Att beräkna kvadratroten ur talet \(9\) innebär alltså att vi söker ett tal vars kvadrat är \(9\), det vill säga talet vi söker multiplicerat med sig själv ska bli \(9\).

Vi tecknar detta som

$$\sqrt{9}=3$$

Kvadratrotstecknet utläses “kvadratroten ur” eller bara “roten ur”. Det är samma sak som att säga att någonting är upphöjt till \(\frac{1}{2}\). Detta kan vi visa med hjälp av potenslagarna.

Vi sa tidigare att

$$\left(\sqrt{a}\right)^2=a$$

Om vi testar att skriva om roten ur till exponenten \(\frac{1}{2}\) får vi

$$\left(a^{^\frac{1}{2}}\right)^2=a^{^\frac{1}{2}\cdot2}=a^{^\frac{2}{2}}=a^1=a$$

Kubikrötter

En annan vanligt förekommande rot är kubikrot, eller tredjerot. Tecknet ser ut som kvadratroten fast med en liten trea uppe till vänster.

$$\large{\sqrt[3]{\phantom{a}}}$$

Kvadratroten ur \(a\) innebar att vi skulle hitta ett tal som multiplicerat med sig självt blev \(a\). Kubikroten av \(a\) innebär att vi ska hitta ett tal som multiplicerat med sig självt tre gånger blir \(a\).

Vi kan titta på \(8\) som exempel. Vi vet att

$$2^3=2\cdot2\cdot2=8$$

Det innebär att

$$\sqrt[3]{8}=2$$

Precis som med kvadratroten så kan man även skriva om kubikroten som en potens i stället. Det ser ut så här

$$\sqrt[3]{a}=a^{^\frac{1}{3}}$$

Rötter av högre grad

Allmänt gäller att

$$\sqrt[b]{a}={a}^{^\frac{1}{b}}$$

Vi kan titta på ett exempel. Säg att vi ska ta fjärderoten ur \(10\,000\).

$$\sqrt[4]{10\,000}=10\,000^{^\frac{1}{4}}=10$$

Fjärderoten ur \(10\,000\) är \(10\), det betyder att \(10\) multiplicerat med sig självt fyra gånger är tio tusen.

Bråk i exponenten

I det här avsnittet har vi hittills endast stött på potenser vars exponenter är heltal eller bråk med en \(1\):a i täljaren och ett heltal i nämnaren.

Hur tolkar man följande uttryck?

$$5^{^\frac{3}{2}}$$

I potensen ovan är basen \(5\) och exponenten är bråktalet \(\frac{3}{2}\).

Vi kan använda oss av potenslagen för multiplikation av potenser för att skriva om detta.

$$5^{^\frac{3}{2}}=5^{^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}}}=5^1\cdot 5^{^\frac{1}{2}}=5\sqrt{5}$$

Vi kan även skriva om det med potenslagen för potens av potens.

$$5^{^\frac{3}{2}}=5^{^{3\cdot \frac{1}{2}}}=\left(5^{^\frac{1}{2}}\right)^3=$$

$$=\left(\sqrt5\right)^3=\sqrt5\cdot\sqrt5\cdot\sqrt5=5\sqrt5$$

Produkterna vi får fram genom dessa utvecklingar är ekvivalenta.