Räta linjens ekvation

I kurserna Matte 1 och Matte 2 har vi gått igenom hur man kan använda linjära funktioner och räta linjens ekvation. Låt oss repetera hur man kan beskriva linjära samband med hjälp av räta linjens ekvation. Vi kommer att behöva använda oss av räta linjer i de kommande avsnitten, linjär optimering och ändringskvot.


Vi börjar med ett exempel

När man tar in på ett hotell kostar varje natt man tillbringar där en viss summa pengar, låt oss säga 500 kr. Hur mycket hela hotellvistelsen kostar kan då anses bero på dels hur mycket en natt kostar, och dels hur många nätter man stannar på hotellet. Detta samband kan vi beskriva så här:

$$Total\, kostnad=500\, kr\cdot \, antal\, nätter$$

Om vi betecknar antal nätter med x och den totala kostnaden med y, kan vi skriva om detta samband som

$$y=500x$$

Om vi utöver kostnaden för varje natt man tillbringar på hotellet, även vill använda hotellets spaavdelning vid ett tillfälle, så kan vi anta att en extra avgift på 250 kr tillkommer. Då kan vi skriva om sambandet så här:

$$Total \, kostnad=500\, kr\cdot antal\, nätter+250\, kr$$

$$y=500x+250$$


Denna ekvation följer en mall som kallas för räta linjens ekvation. Det är en klassisk ekvation, där man beskriver förhållandet mellan två variabler x och y. Ekvationen kallas för räta linjens ekvation, därför att om man ritar in motsvarande funktion (y=500x+250 i vårt exempel) i ett koordinatsystem så kommer det att bli en rät linje.

Vi ska visa detta genom att beräkna värdet på y utifrån några olika värden på x. Sedan ska vi sätta in de punkter (x, y) som dessa par av värden motsvarar i ett koordinatsystem och sammanbinda punkterna.


Följande tabell visar vad den totala kostnaden blir i tre olika fall (2 nätter, 3 nätter och 5 nätter)

$$y=500\cdot 2+250=1250$$

$$y=500\cdot 3+250=1750$$

$$y=500\cdot 5+250=2750$$

Vi kan också använda oss av funktionsbegreppet, y = f(x), och därför skriva om 

$$y =500x+250$$ 

som 

$$f(x)=500x+250$$

Om vi sedan vill sätta in olika värden på variabeln x, så beräknar man funktionsvärdet genom att sätta in det valda värdet på samtliga platser där vi har x i funktionsuttrycket.

Om man vill vara extra tydlig kan man även skriva:

$$f(x=2)=500\cdot 2+250$$

Antal nätter (x) Total kostnad (y) Koordinater (x,y)
2 1250 (2, 1250)
3 1750 (3, 1750)
5 2750 (5, 2750)

De koordinater vi har tagit fram sätts nu in som punkter i ett koordinatsystem och vi ser att om de sammanbinds så får vi en rät linje.

Utifrån vår funktion kan vi välja oändligt många olika positiva heltalsvärden på variabeln x (i det här fallet antal nätter) och få ut ett unikt y-värde (total kostnad för hotellvistelsen) för varje val av värde på variabeln x. Varje punkt som dessa par av x- och y-värden bildar kommer alla att ligga längs samma linje i koordinatsystemet. Denna linje motsvaras av just funktionen

$$f(x)=500x+250$$


Formeln för räta linjens ekvation lyder:

$$y=kx+m$$

Alla ekvationer som följer detta mönster kallas en linjär funktion och bildar, som tidigare nämnts, en rät linje om man väljer att avbilda sambandet i ett koordinatsystem. Här kallas y den beroende variabeln och x den beroende variabeln. Lutningen betecknas med ett k, som står för riktningskoefficient, då i vår exempelekvation kostnaden y beror av antal nätter x. Det som skiljer olika rätlinjiga samband är lutningen som även betecknas riktningskoefficienten k, och skärningspunkten med y-axeln betecknas med ett m, som står för konstantterm, m.

I vårt exempel är k-värdet 500 och m-värdet är 250.

I koordinatsystemet nedan har ett nytt linjärt samband ritats in. Genom att studera linjen kan vi räkna ut linjens ekvation. Eftersom linjen är rak, så vet vi att ekvationen följer formeln för räta linjens ekvation. Vad vi inte vet än är vilket k-värde och vilket m-värde som ekvationen ska ha. När vi har bestämt k-värdet (riktningskoefficienten) och m-värdet (konstanttermen) för ett linjärt samband, då har vi en fullständig beskrivning av linjens ekvation.

$$y=?x+?$$

Vi ska börja med att räkna ut linjens lutning, det vill säga k-värdet.

K-värdet beräknas med hjälp av följande formel:

$$k=\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

Genom att ta två punkter och beräkna skillnaden i y-led mellan dessa och dividera med skillnaden i x-led mellan punkterna, så får vi k-värdet - hur mycket linjen lutar. Vi väljer punkterna (2, 5) och (1, 3).

Dessa punkter visar vi i koordinatsystemet nedan:

Skillnaden i y-led:

$$\\y_{2}-y_{1}=5-3=2\\$$

Skillnaden i x-led:

$$x_{2}-x_{1}=2-1=1$$

K-värdet blir därför:

$$k=\frac{2}{1}=2$$

Slutligen ska vi ta reda på m-värdet. Vi ska alltså bara läsa av var linjen skär y-axeln, vilket vi ser är där y=1.

$$m=1$$

Nu har vi tagit reda på de okända konstanterna i ekvationen. Linjen i koordinatsystemet kan alltså beskrivas med ekvationen

$$y=2x+1$$

Har vi en funktion men ingen graf kan vi med exempelvis trappstegsmetoden rita en graf. Här följer en genomgång av metoden på funktionen $$y= 2x+1.$$

När x = 0 blir = 1, vilket ger oss punkten på linjen med koordinaterna (x,y) = (0,1). Vi sätter ut punkten i koordinatsystemet. Vi ser i ekvationen att k = 2,  vilket vi skriver om som en kvot alltså 2/1. Vi använder det eftersom vi vet följande,

$$ k=\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{2}{1}$$

Därför kan vi säga att skillnaden i y-led är

$$\bigtriangleup y = 2 $$

och skillnaden i x-led är

$$\bigtriangleup x = 1. $$

Detta betyder att när vi går 1 steg i x-led (trappstegets bredd) så går vi 2 steg i y-led (trappstegets höjd) så får vi rätt lutning (k-värde). Nu kan vi rita detta i koordinatsystemet, vi ritar ut första trappsteget och vi börjar vid punkten (0,1) som vi markerat. Därifrån går vi 1 steg åt höger och 2 steg upp och markerar en punkt till. Nu kan vi rita linjen genom att dra den genom båda punkterna.

Sammanfattning och repetition av viktiga regler till räta linjen. 

Räta linjens ekvation y = kx+m

$$k= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

m är vilket y-värde som linjen korsar y-axeln

2 linjer med samma k-värde är parallella
Två räta linjer där k1·k2= -1, så är linjerna vinkelräta
En linje med k>0 är stigande.
En linje med k=0 är parallell med x-axeln.
En linje med k<0 är fallande.
En linje som till exempel x=2 kan inte skrivas på formeln y=kx+m utan är parallell med y-axeln.

Videolektion

Förklaring av koordinater och den räta linjens ekvation.


Har du en fråga du vill ställa om Räta linjens ekvation? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se